Интегриране чрез полагане

[shener.hadjimehmed]

Някой може ли да ми помогне с тези задачи ?

[Добромир Глухаров]

34.3. $\int\frac{5}{\sqrt{7-4x-x^2}}dx$

Полагаме $\sqrt{7-4x-x^2}=\sqrt{7}+xt\Rightarrow t=\frac{\sqrt{7-4x-x^2}-\sqrt{7}}{x}$
$7-4x-x^2=(\sqrt{7}+xt)^2$
$7-4x-x^2=7+2\sqrt{7}xt+x^2t^2$
Решаваме спрямо $x$
$(t^2+1)x^2+2(\sqrt{7}t+2)x=0$
$x=-\frac{2(\sqrt{7}t+2)}{t^2+1}\Rightarrow\sqrt{7-4x-x^2}=\sqrt{7}-\frac{2(\sqrt{7}t+2)}{t^2+1}\cdot t=\frac{-\sqrt{7}t^2-4t+\sqrt{7}}{t^2+1}$
$dx=-\frac{2\sqrt{7}(t^2+1)-2(\sqrt{7}t+2).2t}{(t^2+1)^2}dt$
$dx=\frac{2\sqrt{7}t^2+8t-2\sqrt{7}}{(t^2+1)^2}dt$

$\int\frac{5}{\sqrt{7-4x-x^2}}dx=5\int\frac{2\sqrt{7}t^2+8t-2\sqrt{7}}{(t^2+1)^2.(-\sqrt{7}t^2-4t+\sqrt{7})}\cdot(t^2+1)dt=\\=-5.2\int\frac{dt}{t^2+1}=-10arctgt+C=-10arctg\frac{\sqrt{7-4x-x^2}-\sqrt{7}}{x}+C$

[Добромир Глухаров]

35.3. Полагаме $\sqrt{x^2+6x-10}=x-t$ и продължаваме като в 34.3.

[Добромир Глухаров]

36.3. $\sqrt{2-3x}=t\Rightarrow x=\frac{2-t^2}{3};\ dx=-\frac{2t}{3}dt$

[Добромир Глухаров]

37.3. $\sqrt[6]{x+2}=t\Rightarrow x=t^6-2;\ dx=6t^5dt$

[Добромир Глухаров]

38.3. $sinx=t\Rightarrow x=arcsint\Rightarrow\int\frac{1}{2-sinx}dx=\int\frac{1}{2-t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ и нататък като в 34.3.

[Добромир Глухаров]

Виж ТУК - 6.1.2 и 6.1.3.

[Добромир Глухаров]

38.3. $sinx=t\Rightarrow x=arcsint\Rightarrow\int\frac{1}{2-sinx}dx=\int\frac{1}{2-t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ и нататък като в 34.3.

Тук е по-добре да се използва универсалната субституция $t=tg\frac{x}{2};\ sinx=\frac{2t}{1+t^2};\ dx=\frac{2dt}{1+t^2}$.

Получава се $\int\frac{dt}{t^2-t+1}$. Отделяме точен квадрат в знаменателя: $t^2-t+1=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}$

$\int\frac{dt}{t^2-t+1}=\int\frac{d\left(t-\frac{1}{2}\right)}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t-1}{\sqrt{3}}+C=\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2tg\frac{x}{2}-1}{\sqrt{3}}+C$

[shener.hadjimehmed]

Може ли пълно решение на 38.3 че не мога да я направя ...

[aifC]

38.3 [tex]\int \frac{1}{2-sin(x)}dx = - \int \frac{1}{sin(x)-2}dx[/tex] Подготвяме се за субституция на Вайерщрас :

[tex]\int \frac{1}{\frac{2tg \left(\frac{x}{2} \right)}{tg^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}-2} \Rightarrow u = tg\left(\frac{x}{2}\right) \rightarrow dx=\frac{2}{sec^{2}\left(\frac{x}{2}\right)} \rightarrow du = \frac{2}{u^{2}+1} \Rightarrow -\int \frac{1}{u^{2}-u+1};[/tex] Допълваме до точен квадрат:

[tex]\int \frac{1}{u^{2}-u+1} = \int \frac{1}{\left(u-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}[/tex] Налага ни се да направим втора субституция:

[tex]v=\frac{2u-1}{\sqrt{3}} \rightarrow du=\frac{\sqrt{3}}{2}dv = \frac{2}{3} \int \frac{1}{v^{2}+1}dv \Rightarrow arctg(v);[/tex] Връщаме двете субституции:

[tex]\frac{2arctg \frac{\frac{2sin(x)}{cos(x)+1}-1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} + C;[/tex]