Определен интеграл2

[mariat]

Да се реши

[aifC]

[tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} dx = \int \frac{ix}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}dx;[/tex] Записваме [tex]x[/tex] като: [tex]\frac{1}{2}(2x-b-a)+ \left(-\frac{-b-a}{2} \right);[/tex]

[tex]\int \left(\frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} - \frac{-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} \right)dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} dx - \frac{-b-a}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} = I_{1}-I_{2};[/tex]

[tex]I_{1} = \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}; u = x^{2}+(-b-a)x+ab \rightarrow dx = \frac{1}{2x-b-a}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u}}du = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab} ;[/tex]

[tex]I_{2} = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}};[/tex] Допълваме квадрата: [tex]\int \frac{1}{\sqrt{\left(x+\frac{-b-a}{2}\right)^{2}+ab-\frac{(-b-a)^{2}}{4}}};[/tex]

[tex]u= \frac{2x-b-a}{2\sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}} \rightarrow dx = \sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}du = ln(\sqrt{u^{2}+1}+1);[/tex]

[tex]\frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} - \frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} =[/tex]

[tex]arcsin(b+a) \left(\frac{\sqrt{b^{2}-2ab+a^{2}}}{b-a}\right);[/tex]

[mariat]

Благодаря.

[Гост]

По добре е така $\int_a^b \frac{x}{\sqrt{-x^2+(a+b)x-ab}}dx$. полагаме $x=t+\frac{a+b}{2}$ и получаваме
$\int_c^d \frac{t+(a+b)/2}{\sqrt{(a-b)^2/4-t^2}}dt$.
Тук $c=(a-b)/2, d=(b-a)/2$. От последния интеграл лесно се получава един логаритъм и един аркус синус.

[Гост]

Всъщност това полагане е стандартно.

[mariat]

[tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} dx = \int \frac{ix}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}dx;[/tex] Записваме [tex]x[/tex] като: [tex]\frac{1}{2}(2x-b-a)+ \left(-\frac{-b-a}{2} \right);[/tex]

[tex]\int \left(\frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} - \frac{-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} \right)dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} dx - \frac{-b-a}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} = I_{1}-I_{2};[/tex]

[tex]I_{1} = \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}; u = x^{2}+(-b-a)x+ab \rightarrow dx = \frac{1}{2x-b-a}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u}}du = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab} ;[/tex]

[tex]I_{2} = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}};[/tex] Допълваме квадрата: [tex]\int \frac{1}{\sqrt{\left(x+\frac{-b-a}{2}\right)^{2}+ab-\frac{(-b-a)^{2}}{4}}};[/tex]

[tex]u= \frac{2x-b-a}{2\sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}} \rightarrow dx = \sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}du = ln(\sqrt{u^{2}+1}+1);[/tex]

[tex]\frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} - \frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} =[/tex]

[tex]arcsin(b+a) \left(\frac{\sqrt{b^{2}-2ab+a^{2}}}{b-a}\right);[/tex]

Има ли друг начин без комплексни числа, много ми е трудно?

[Гост]

Ми нали съм ти го написал по-горе.

[mariat]

Не го разбирам защо сменихме основите?

[Гост]

Кои основи?

[mariat]

интегралите граници?a,b->c,d

[Гост]

Щото така се прави при смяна на променлива.

[mariat]

може ли да разпишеш идеята си по-широко?

[mariat]

[tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} dx = \int \frac{ix}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}dx;[/tex] Записваме [tex]x[/tex] като: [tex]\frac{1}{2}(2x-b-a)+ \left(-\frac{-b-a}{2} \right);[/tex]

[tex]\int \left(\frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} - \frac{-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} \right)dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} dx - \frac{-b-a}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} = I_{1}-I_{2};[/tex]

[tex]I_{1} = \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}; u = x^{2}+(-b-a)x+ab \rightarrow dx = \frac{1}{2x-b-a}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u}}du = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab} ;[/tex]

[tex]I_{2} = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}};[/tex] Допълваме квадрата: [tex]\int \frac{1}{\sqrt{\left(x+\frac{-b-a}{2}\right)^{2}+ab-\frac{(-b-a)^{2}}{4}}};[/tex]

[tex]u= \frac{2x-b-a}{2\sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}} \rightarrow dx = \sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}du = ln(\sqrt{u^{2}+1}+1);[/tex]

[tex]\frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} - \frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} =[/tex]

[tex]arcsin(b+a) \left(\frac{\sqrt{b^{2}-2ab+a^{2}}}{b-a}\right);[/tex]

Не разбирам защо точно тази субституция се прави на I2 като не е вярна(производната е грешна)?

[aifC]

Още ли го декриптираш интеграла, прави се субституцията за да се стигне до по-лесен , a коя субституция трябва да се направи според теб ?

[Гост]

Абе човек написах ти стандартното
Полагане. Има го по всички книги. Ти искаш да т напише некой всички сметки. Ще получиш пак същия отговор. Жив и здрав да си.

[Гост]

Полаганет на aifC не струва.

[Гост]

Полагането на aifC не струва.

[Гост]

Полагането на aifC не струва.

[mariat]

По добре е така $\int_a^b \frac{x}{\sqrt{-x^2+(a+b)x-ab}}dx$. полагаме $x=t+\frac{a+b}{2}$ и получаваме
$\int_c^d \frac{t+(a+b)/2}{\sqrt{(a-b)^2/4-t^2}}dt$.
Тук $c=(a-b)/2, d=(b-a)/2$. От последния интеграл лесно се получава един логаритъм и един аркус синус.

Може ли жокер, не знам как да го интегрирам по-нататък?

[mariat]

[tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} dx = \int \frac{ix}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}dx;[/tex] Записваме [tex]x[/tex] като: [tex]\frac{1}{2}(2x-b-a)+ \left(-\frac{-b-a}{2} \right);[/tex]

[tex]\int \left(\frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} - \frac{-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} \right)dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} dx - \frac{-b-a}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}} = I_{1}-I_{2};[/tex]

[tex]I_{1} = \int \frac{2x-b-a}{2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}}; u = x^{2}+(-b-a)x+ab \rightarrow dx = \frac{1}{2x-b-a}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u}}du = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab} ;[/tex]

[tex]I_{2} = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+(-b-a)x+ab}};[/tex] Допълваме квадрата: [tex]\int \frac{1}{\sqrt{\left(x+\frac{-b-a}{2}\right)^{2}+ab-\frac{(-b-a)^{2}}{4}}};[/tex]

[tex]u= \frac{2x-b-a}{2\sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}} \rightarrow dx = \sqrt{\frac{(b+a)^{2}}{4}-ab}du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}du = ln(\sqrt{u^{2}+1}+1);[/tex]

[tex]\frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} - \frac{i(b+a)ln(-2(\sqrt{(x-a)(x-b)}+x)+b+a)+2\sqrt{(x-a)(x-b)}}{2}\begin{array}{|l} b \\ a \end{array} =[/tex]

[tex]arcsin(b+a) \left(\frac{\sqrt{b^{2}-2ab+a^{2}}}{b-a}\right);[/tex]

На I2 производната е грешна:https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B2x-b-a%7D%7B2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cleft(b%2Ba%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-ab%7D%7D%5Cright)
Може ли да разпишеш I2 подробно и субституцията е странна, не изглежда по I2?

[aifC]

Голяма драма.

[mariat]

Голяма драма.

Нещо не Ви разбирам? Страх ме е да питам вече...

[mariat]

Някой друг, помощ

[Добромир Глухаров]

Най-напред решаваме неопределения интеграл:

$I(x)=\int\frac{x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}dx$

$(x-a)(b-x)=-x^2+(a+b)x-ab=-x^2+2x\cdot\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab=\\=-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2$

Полагаме $x-\frac{a+b}{2}=t\Rightarrow x=t+\frac{a+b}{2}\Rightarrow dx=dt$

$I=\int\frac{t+\frac{a+b}{2}}{\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2-t^2}}dt$, означаваме за удобство $\frac{a+b}{2}=p,\frac{b-a}{2}=q>0$

$I=\int\frac{t+p}{\sqrt{q^2-t^2}}dt=\int\frac{t+p}{q\sqrt{1-\left(\frac{t}{q}\right)^2}}dt=\int\frac{t+p}{\sqrt{1-\left(\frac{t}{q}\right)^2}}d\left(\frac{t}{q}\right)$

$\frac{t}{q}=u\Rightarrow t=q.u$

$I=\int\frac{qu+p}{\sqrt{1-u^2}}du=q\int\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}du+p\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\\=-\frac{q}{2}\int\frac{-2u}{\sqrt{1-u^2}}du+p.arcsin(u)=-\frac{q}{2}\int(1-u^2)^{-\frac{1}{2}}d(1-u^2)+p.arcsin(u)=\\=-\frac{q}{2}\cdot\frac{(1-u^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+p.arcsin(u)+C=-q\sqrt{1-u^2}+p.arcsin(u)+C=\\=-q\sqrt{1-\frac{t^2}{q^2}}+p.arcsin\frac{t}{q}+C=-\sqrt{q^2-t^2}+p.arcsin\frac{t}{q}+C$

$I=-\sqrt{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2}+\frac{a+b}{2}\cdot arcsin\frac{x-\frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}+C$

$I(x)=\sqrt{(x-a)(b-x)}+\frac{a+b}{2}\cdot arcsin\frac{2x-a-b}{b-a}+C$

$\int_a^b\frac{x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}dx=I(b)-I(a)=0+\frac{a+b}{2}\cdot arcsin\frac{b-a}{b-a}-0-\frac{a+b}{2}\cdot arcsin\frac{a-b}{b-a}=\\=\frac{a+b}{2}\cdot\left(+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}(a+b)$

[mariat]

Благодаря много.