Неопределен интеграл3

[mariat]

Да се реши A без три субституции

[Гост]

Та то няма нужда от никакви субституции.

[aifC]

Има доста за писане по тая интегрална сума, ако не ме домързи утре ще я реша.

[KOPMOPAH]

Подкрепям колегата aifC по отношение на многото писане .
Понеже $4ac-b^2>0$ формулата, която трябва да се използва, изглежда така: $$\int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}},$$ $$ a=1, b=\pm \sqrt 2, c=1, m=\frac{\pm\sqrt 2}4, n=\frac12$$
Допускам, че някой майстор на интегралите ще посочи и по-лек начин

[Гост]

$\displaystyle \int \frac{x\sqrt{2}+2}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{2}+1}}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx+\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx =\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}d(x+\sqrt{2}/2)x+\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}d(x+\sqrt{2}/2)$


И се получава един логаритъм и един аркус тангенс.

[aifC]

[tex]A = I_{1} + I_{2};[/tex]

[tex]I_{1} = -\frac{1}{4} \int \frac{\sqrt{2}x-2}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}dx = \int \left(\frac{2x-\sqrt{2}}{\sqrt{2}(x^{2}-\sqrt{2}x+1)} - \frac{1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}\right)dx =[/tex]

[tex]\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{2x-\sqrt{2}}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}dx - \int \frac{1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}dx; u=x^{2}-\sqrt{2}x+1 \rightarrow dx = \frac{1}{2x-\sqrt{2}}du; \Rightarrow \int \frac{1}{u}du = ln(u) = ln(x^{2}-\sqrt{2}x+1);[/tex]

[tex]\int \frac{1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}dx = \int \frac{1}{\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\frac{1}{2}}dx; u=\sqrt{2}x-1 \rightarrow dx = \frac{1}{\sqrt{2}}du \Rightarrow \sqrt{2} \int \frac{1}{u^{2}+1}du = arctg(u)=\sqrt{2}arctg(\sqrt{2}x-1);[/tex]

[tex]I_{2}[/tex] идентичен с първия интеграл, като краен отговор получавам:

[tex]A = \frac{1}{4} \left(\sqrt{2}arctg(\sqrt{2}x+1)+\frac{ln|2x^{2}+2\sqrt{2}x+2|}{\sqrt{2}}\right)- \frac{2arctg(1-\sqrt{2}x)+ln|2x^{2}-2\sqrt{2}x+2|}{4\sqrt{2}} + C;[/tex]

Някой ако се сети за по елегантен начин да сподели.

[grav]

[tex]x=-t[/tex]

[tex]\int\frac{-\sqrt2x+2}{4(x^2+1-\sqrt2x)}dx=-\int\frac{\sqrt2t+2}{4(t^2+1+\sqrt2t)}dt=[/tex]

[Гост]

$\displaystyle \int \frac{x\sqrt{2}+2}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{2}+1}}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx+\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}dx =\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{x+\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}d(x+\sqrt{2}/2)x+\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{\sqrt{2}/2}{(x+\sqrt{2}/2)^2+1/2}d(x+\sqrt{2}/2)$


И се получава един логаритъм и един аркус тангенс.

Омръзна ти да пишеш нали? А какви садисти дават подобни задачи?