Субституция на Ойлер

[Parasyte]

Може ли помощ с образуването на интеграла след полагането?

[KOPMOPAH]

Да се намери $\int\limits_{0}^{4}\frac{dx}{x-\sqrt{x^2+9}}$
От субституцията на Ойлер
$\sqrt{x^2+9}=t-x$
$x^2+9=t^2-2tx+x^2$
$x=\frac{t^2-9}{2t}$
$dx=\left(\frac{t^2-9}{2t}\right)'dt=\frac{2t.2t-2(t^2-9)}{4t^2}dt=\frac{t^2+9}{2t^2}dt$
$\sqrt{x^2+9}=t-x=t-\frac{t^2-9}{2t}=\frac{t^2+9}{2t}$
След като изразихме всичко възможно чрез $t$ интегралът придобива вида $\int \frac{\frac{t^2+9}{2t^2}dt}{\frac{t^2-9}{2t}-\frac{t^2+9}{2t}}=\cdots=\int \frac{t^2+9}{-18t}dt=-\frac 1{18} \int t.dt-\frac 12 \int \frac 1t dt=-\frac 1{18}t^2-\frac 12 ln|t|+C$
Тук е мястото да си спомним, че $t=\sqrt{x^2+9}+x$, да заместим и да получим $\int\frac{dx}{x-\sqrt{x^2+9}}= -\frac 1{18}\left(\sqrt{x^2+9}+x\right)^2-\frac 12 ln|\sqrt{x^2+9}+x|+C$
Допускам, че оттук нататък е ясно

P.S. Модулът може да бъде заменен с обикновени скоби, защото (докажи ) изразът в него е винаги положителен!