Разходящ ред

[Гост]

Нека [tex]a_{n }[/tex]>0 за достатъчно големи n и lim n[tex]a_{n }[/tex]=L (n клони към безкрайност), където 0<L<[tex]\infty[/tex]. Докажете, че реда [tex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n }[/tex] е разходящ.

[aifC]

Да предположим че реда е сходящ то тогава:
[tex]ϵ > 0[/tex], можем да намерим някакво положително число [tex]N[/tex] такова че:[tex]|a_{n}-L|<ϵ \forall n > N[/tex]

От [tex]a_{n} = n \Rightarrow[/tex]

[tex]|n-L|< ϵ[/tex] което е вярно само ако:

[tex]-ϵ<n-L<ϵ[/tex] само ако:

[tex]-ϵ+L<n<ϵ+L[/tex]

В такъв случей няма как неравеството да бъде удоволетворено за всички достатъчно големи [tex]n[/tex], защото те ще надвишат [tex]ϵ+L[/tex], следователно [tex]a_{n}[/tex] не е сходящ, а разходящ.

[matst]

Нека [tex]n_0[/tex] е такова, че [tex]\forall n>n_0[/tex] е в сила [tex]n a_n>\frac{L}{2}[/tex].
Така, значи, [tex]a_n>\frac{L}{2n}>0[/tex], [tex]\forall n>n_0[/tex].

Следователно, [tex]\forall N>n_0[/tex] е в сила
[tex]\sum_{n=N+1}^{2N} a_n>\frac{L}{2} \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n}>\frac{L}{2} N \frac{1}{2N}=\frac{L}{4}[/tex]

Следователно, [tex]\limsup_{N\to\infty}\bigl( \sup_{p>0} \bigl| \sum_{n=N+1}^{N+p} a_n \bigr| \bigr) \ge \sum_{n=N+1}^{2N} a_n>\frac{L}{4} >0[/tex]
и [tex]\limsup_{N\to\infty}\bigl( \sup_{p>0} \bigl| \sum_{n=N+1}^{N+p} a_n \bigr| \bigr) \ne 0[/tex].
Значи, съгласно критерия на Коши, редът [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] не е сходящ.

P.S. Макар, че би могло да се разсъждава и по-наедро. Премахването на първите [tex]n_0[/tex] членове на реда
не променя сходимостта, но остава ред с положителни членове и като се сравни с реда [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n}[/tex]
според признака за сравняване следва, че е разходящ.