Определен интеграл

[Гост]

Да се реши определения интеграл. В този случай не знам от къде да почна (кой метод да използвам). Ако бихте могли да ми помогнете

[Hephaestus]

[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/tex][tex]\sqrt{sinx - sin^{3}x}dx =[/tex] [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/tex][tex]\sqrt{sinx - sinx.sin^{2}x}dx[/tex] =[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/tex][tex]\sqrt{sinx - sinx(1-cos^{2})x}dx[/tex] = [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/tex][tex]\sqrt{sinx - sinx(1-cos^{2}x)}dx[/tex] = [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/tex][tex]\sqrt{sinx - sinx + sinx.cos^{2}x}dx[/tex] = [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/tex][tex]cosx\sqrt{sinx}dx[/tex]
Полагаме [tex]u = sinx[/tex]. Тогава [tex]du = cosx, dx = \frac{1}{cosx}du[/tex].
Интегралът придобива вида [tex]\int\limits_{0}^{1}[/tex][tex]\sqrt{u}du = \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3} |_{0 } ^{1} = \frac{2}{3}.[/tex]

[KOPMOPAH]

Почни с това, че под корена имаш $\sin x - \sin ^3 x$, което е $\sin x (1-\sin ^2 x)$ и интегралът става $\int \sqrt{\sin x.\cos^2 x}dx=\int \cos x \sqrt{ \sin x} dx$. Остава да се досетиш, че $\cos x dx= d(\sin x)$ ...

[KOPMOPAH]

Как сме писали едновременно

[matst]

За [tex]x\in[0;\pi/2][/tex] е в сила [tex]\sin x\ge 0[/tex], [tex]\cos x\ge 0[/tex] и значи
[tex]\sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x | = \cos x[/tex].

Даденият интеграл е равен на
[tex]\int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x (1-\sin^2 x)} dx= \int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} \sqrt{1-\sin^2 x} dx[/tex]
[tex]= \int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} \cos x dx = J[/tex]

Внася се [tex]\cos x[/tex] в диференциала като се интегрира: [tex]\cos x dx = d \sin x[/tex]
(тук, "+C" не се пише, защото при внасяне на функция в диференциала обикновено
не е необходимо да се добавя неопределена константа "+C")
[tex]J= \int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} d \sin x = J[/tex]

Полага се [tex]t=\sin x[/tex] и се изчисляват границите:
горна граница се пресмята при [tex]x=\pi/2[/tex] и се получава [tex]\sin (\pi/2) = 1[/tex]
и долна граница се пресмята при [tex]x=0[/tex] и се получава [tex]\sin (0) = 0[/tex]
Значи,
[tex]J=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{t} d t[/tex]

Полученият интеграл се решава като се използва, че [tex]\sqrt{t}=t^{1/2}[/tex]
и формулата [tex]\int x^a dx = \frac1{a+1} \, x^{a+1}+C[/tex] (в която [tex]a\neq (-1)[/tex]) от табличните интеграли
[tex]J=\int\limits_{0}^{1} t^{1/2} d t =\left. \frac1{1/2+1} \, t^{1/2+1} \right|_{t=0}^{1} =\left. \frac1{3/2} \, t^{3/2} \right|_{t=0}^{1}[/tex]
(това е по формулата на Нютон - Лайбниц и "+C" не се пише според една друга теорема)
където вертикалната черта означава пресмятане на разлика на стойностите
[tex]J=\frac2{3} \, \left( 1^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac2{3} .( 1-0) = \frac2{3}.[/tex]

И така, интегралът [tex]J=2/3[/tex]. Край на решението.

Заб. Приемливо е това решение да се запише по следния начин
[tex]\int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x - \sin^3 x} \, dx = \int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} \sqrt{1 - \sin^2 x} \, dx= \int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} \cos x dx= \int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} d \sin x[/tex]
[tex]= \int\limits_{0}^{1} \sqrt{t} d t = \left. \frac2{3} \, t^{3/2} \right|_{t=0}^{1}=\frac2{3} \, \left( 1^{3/2} - 0^{3/2} \right)=\frac2{3}[/tex]

Заб. Докато съм писал се оказа, че и други са написали решение.