Интеграл

[Гост]

за решение

[matst]

Първо намираме нормалната система неравенства
за областта на интегриране. (не се налага да я режем на части)

Виж чертежа.

Областта на интегриране е фигурата с върхове [tex]OABC[/tex].

Фигурата се проектира в равнината [tex]xOy[/tex] в криволинейния триъг. [tex]\triangle OAB[/tex]

([tex]z[/tex] расте от долу на горе)
Стената отдолу е криволинейния триъг. [tex]\triangle OAB[/tex] и там [tex]z=0[/tex]
Стената отгоре е криволинейния триъг. [tex]\triangle ABC[/tex] и там [tex]z=\pi/2-x[/tex]
Така, системата неравенства за описване на фигурата
на "първа итерация" е
\begin{array}{|l}
(x,y)\in \triangle OAB \\
0\le z\le \pi/2-x
\end{array}

Сега, да опишем и [tex]\triangle OAB[/tex]
[tex]\triangle OAB[/tex] се проектира в/у оста [tex]Ox[/tex] в отсечката [tex]OA[/tex]

([tex]y[/tex] расте от ляво на дясно)
Лявата страна на [tex]\triangle OAB[/tex] е отсечката [tex]OA[/tex] и там [tex]y=0[/tex]
Дясната страна на [tex]\triangle OAB[/tex] е дъгата [tex]OB[/tex] и там [tex]x=y^2 \implies y=\sqrt{x}[/tex]
Така, системата неравенства за описване на [tex]\triangle OAB[/tex] е
\begin{array}{|l}
x\in OA \\
0\le y\le \sqrt{x}
\end{array}

И да отбележим, че [tex]x\in OA \iff 0\le x\le \pi/2[/tex].

И така, нормалната система неравенства за фигурата е
\begin{array}{|l}
0\le x\le \pi/2\\
0\le y\le \sqrt{x}\\
0\le z\le \pi/2-x
\end{array}

Второ изчислява се интеграла чрез свеждане към повторен интеграл
(итериран интеграл)

[tex]\iiint_D y\cos(x+z) dxdydz = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{x}} y \int_0^{\pi/2-x} \cos(x+z) dz dy dx[/tex]
[tex]=\int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{x}} y \left. \sin(x+z)\right|_0^{\pi/2-x} dy dx[/tex]
[tex]=\int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{x}} y \bigl( \sin(x+\pi/2-x) - \sin(x+0) \bigr) dy dx[/tex]
[tex]=\int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{x}} y \bigl( \sin(\pi/2) - \sin(x) \bigr) dy dx[/tex]
[tex]=\int_0^{\pi/2} \bigl( 1 - \sin(x) \bigr) \int_0^{\sqrt{x}} y dy dx[/tex]
[tex]=\int_0^{\pi/2} \bigl( 1 - \sin(x) \bigr) \left. 1/2 y^2 \right|_0^{\sqrt{x}} dx[/tex]
[tex]=\int_0^{\pi/2} \bigl( 1 - \sin(x) \bigr) 1/2 \bigl( (\sqrt{x})^2 - 0^2 \bigr) dx[/tex]
[tex]=1/2 \int_0^{\pi/2} \bigl( 1 - \sin(x) \bigr) x dx[/tex]
[tex]= 1/2 \int_0^{\pi/2} x dx - 1/2 \int_0^{\pi/2} \sin(x) x dx[/tex]
[tex]= 1/4\,.\, \pi^2/4 - 1/2 \bigl( \left. -x\cos(x) \right|_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \cos(x) dx \bigr)[/tex]
[tex]= 1/4\,.\, \pi^2/4 - 1/2 \bigl( -\pi/2 \cos(\pi/2) + 0 \cos(0) + \left. \sin(x) \right|_0^{\pi/2} \bigr)[/tex]
[tex]= 1/4\,.\, \pi^2/4 - 1/2 \bigl( -0+0 + \sin(\pi/2) - \sin(0) \bigr)[/tex]
[tex]= 1/4\,.\, \pi^2/4 - 1/2=\pi^2/16-1/2[/tex]