за решение

[Гост]

някой ако знае как

[Добромир Глухаров]

https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=7470

В този случай характеристичното уравнение е $r^4+2r^3+2r^2+2r+1=0\Rightarrow r^2(r^2+2r+1)+r^2+2r+1=0\Rightarrow (r^2+1)(r+1)^2=0$

$r_{1,2}=\pm i;\ r_{3,4}=-1$

$y(x)=Y(x)+\eta(x)$

$Y(x)=C_1^*e^{ix}+C_2^*e^{-ix}+(C_3x+C_4)e^{-x}=C_1^*(cosx+isinx)+C_2^*(cosx-isinx)+(C_3x+C_4)e^{-x}=C_1cosx+C_2sinx+(C_3x+C_4)e^{-x}$

По метода на Лагранж варираме константите: $\eta(x)=u_1(x)cosx+u_2(x)sinx+u_3(x).xe^{-x}+u_4(x)e^{-x}$

Съставяме системата:

$\begin{array}{|l}u_1'(x)cosx+u_2'(x)sinx+u_3'(x).xe^{-x}+u_4'(x)e^{-x}=0\\u_1'(x)(-sinx)+u_2'(x)cosx+u_3'(x)(e^{-x}-xe^{-x})+u_4'(x)(-e^{-x})=0\\u_1'(x)(-cosx)+u_2'(x)(-sinx)+u_3'(x)(-e^{-x}-e^{-x}+xe^{-x})+u_4'(x)e^{-x}=0\\u_1'(x)sinx+u_2'(x)(-cosx)+u_3'(x)(2e^{-x}+e^{-x}-xe^{-x})+u_4'(x)(-e^{-x})=\frac{1}{2}cosx+xe^x\end{array}$

Това е линейна система от четири уравнения с четири неизвестни: $u_1'(x);\ u_2'(x);\ u_3'(x);\ u_4'(x)$.

Решаваме по метода на Крамер:

$\Delta=\begin{array}{|cccc|}cosx&sinx&xe^{-x}&e^{-x}\\-sinx&cosx&e^{-x}-xe^{-x}&-e^{-x}\\-cosx&-sinx&-2e^{-x}+xe^{-x}&e^{-x}\\sinx&-cosx&3e^{-x}-xe^{-x}&-e^{-x}\end{array}=\begin{array}{|cccc|}cosx&sinx&xe^{-x}&e^{-x}\\-sinx&cosx&e^{-x}-xe^{-x}&-e^{-x}\\0&0&-2e^{-x}+2xe^{-x}&2e^{-x}\\0&0x&4e^{-x}-2xe^{-x}&-2e^{-x}\end{array}=\begin{array}{|cc|}cosx&sinx\\-sinx&cosx\end{array}\cdot\begin{array}{|cc|}-2e^{-x}+2xe^{-x}&2e^{-x}\\4e^{-x}-2xe^{-x}&-2e^{-x}\end{array}$

За последното разлагане на произведение от две детерминанти използваме Теорема на Лаплас.

Аз получавам $\Delta=12e^{-2x}-8xe^{-2x}$, но може и да бъркам.

Аналогично $\Delta_1=\begin{array}{|cccc|}0&sinx&xe^{-x}&e^{-x}\\0&cosx&e^{-x}-xe^{-x}&-e^{-x}\\0&-sinx&-2e^{-x}+xe^{-x}&e^{-x}\\\frac{1}{2}cosx+xe^x&-cosx&3e^{-x}-xe^{-x}&-e^{-x}\end{array}=\cdots=xe^{-x}+\frac{1}{2}e^{-2x}cosx$

и т.н.

$u_k(x)=\int\frac{\Delta_k}{\Delta}dx;\ k=1,2,3,4$

Остава да заместим $u_k(x)$ в $\eta(x)$, съответно в $y(x)$.