Kак се интегрира двоен интеграл чрез полярни координати?

[vvfow]

Искам да попитам как се интегрира двоен интеграл чрез полярни координати? И тоя якобиан винаги ли е = r? Някое просто примерче от сорта на интеграл на който не са му дадени границите а само D-то чрез неравенство ще е полезно

[KOPMOPAH]

...И тоя якобиан винаги ли е = r?...

Винаги, защото преобразуването на елементарната площ ${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$ от декартови координати $(x, y)$ към полярни координати $(r, φ)$ е:
$${\displaystyle x=r\,\cos \phi }\\

{\displaystyle y=r\,\sin \phi .}$$

Матрицата на Якоби има следният вид:

$$\hat{I}(r, \phi) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \phi} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos\phi & -r\, \sin\phi \\
\sin\phi & r\, \cos\phi
\end{bmatrix}.$$

А якобианът на прехода от декартови координати към полярни е детерминатата на матрицата на Якоби:
$$J(r,\phi) = \det \hat{I}(r,\phi) =\det \begin{bmatrix}
\cos\phi & -r\, \sin\phi \\
\sin\phi & r\, \cos\phi
\end{bmatrix} = \cos\phi.r\, \cos\phi + r\,\sin\phi.\sin\phi=r\,\cos^2\phi+r\,\sin^2\phi=\\=r\,(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=r.$$

[vvfow]

...И тоя якобиан винаги ли е = r?...

Винаги, защото преобразуването на елементарната площ ${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$ от декартови координати $(x, y)$ към полярни координати $(r, φ)$ е:
$${\displaystyle x=r\,\cos \phi }\\

{\displaystyle y=r\,\sin \phi .}$$

Матрицата на Якоби има следният вид:

$$\hat{I}(r, \phi) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \phi} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos\phi & -r\, \sin\phi \\
\sin\phi & r\, \cos\phi
\end{bmatrix}.$$

А якобианът на прехода от декартови координати към полярни е детерминатата на матрицата на Якоби:
$$J(r,\phi) = \det \hat{I}(r,\phi) =\det \begin{bmatrix}
\cos\phi & -r\, \sin\phi \\
\sin\phi & r\, \cos\phi
\end{bmatrix} = \cos\phi.r\, \cos\phi + r\,\sin\phi.\sin\phi=r\,\cos^2\phi+r\,\sin^2\phi=\\=r\,(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=r.$$

Ами за троен интеграл? Пак ли якобианът е винаги един и същ и какъв е?

[KOPMOPAH]

Човек с твоята жажда за знание трябва да пита чичко Гугъл за всичко, което го интересува

В случая, ето го прехода на елементарния обем $${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$$ от декартови координати $(x, y, z)$ към сферични координати $(r, θ, φ)$ :

$${\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \phi } \\
{\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \phi } \\
{\displaystyle z=r\,\cos \theta .}$$

Матрицата на Якоби изглежда така (все по-страшничко):
$${\displaystyle {\hat {I}}(r,\theta ,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.} $$
А якобианът на прехода от декартови координати към сферични е детерминантата на матрицата на Якоби:

$${\displaystyle J(r,\theta ,\phi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\phi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=\cdots=r^{2}\sin \theta .} $$

По този начин, елементарният обем при прехода от декартови координати към сферични ще изглежда така:

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\phi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$$