Интеграли

[Гост]

Как се решават тези два интеграла (неопределени са, знам колко е отговора, но се интересувам от самото решение ):
[tex]\int[/tex] [tex]\frac{1}{sinx}[/tex]dx
[tex]\int[/tex] [tex]\frac{1}{cosx}[/tex]dx

[Петър Евгениев]

Как се решават тези два интеграла (неопределени са, знам колко е отговора, но се интересувам от самото решение ):
[tex]\int[/tex] [tex]\frac{1}{sinx}[/tex]dx
[tex]\int[/tex] [tex]\frac{1}{cosx}[/tex]dx

1.[tex]\int \frac{1}{sinx}dx[/tex]
Субституция: [tex]x=2u \Rightarrow \frac{dx}{du}=2 \Rightarrow dx=2du[/tex]
[tex]\int \frac{2du}{sin(2u)}=\int \frac{\cancel{2}du}{\cancel{2}sinucosu}=\int \frac{1}{sinucosu}du=\int\frac{sin^{2}u+cos^{2}u}{sinucosu}du[/tex]
Сега разделяш на два интеграла:
$$\int\frac{sin^{\cancel{2}}u}{\cancel{sinu}cosu}du+\int\frac{cos^{\cancel{2}}u}{sinu\cancel{cosu}}du=\int\frac{sinu}{cosu}du+\int\frac{cosu}{sinu}du$$
Сега пак субституция:
[tex]v=sinu \Rightarrow \frac{dv}{du}=cosu \Rightarrow dv=cosu.du[/tex]
$$§$$
[tex]t=cosu \Rightarrow \frac{dt}{du}=-sinu \Rightarrow dt=-sinu.du[/tex]
$$-\int\frac{-sinu}{cosu}du+\int\frac{cosu}{sinu}du=-\int\frac{-sinu.du}{cosu}+\int\frac{cosu.du}{sinu}=-\int\frac{dt}{t}+\int\frac{dv}{v}$$
Това трябва да ви е познато. Ако не сега ще се запознаете.
$$-\int\frac{dt}{t}+\int\frac{dv}{v}=-ln(t)+ln(v)+C=ln(t^{-1})+ln(v)+C=ln(\frac{1}{t})+ln(v)+C=ln(\frac{1}{cosu})+ln(sinu)+C=ln(\frac{sinu}{cosu})+C=ln(tgu)+C$$
От първата субституция:
[tex]u=\frac{x}{2}[/tex]
$$ln(tgu)+C=ln(tg\frac{x}{2})+C$$
В математиката отговор без решение е като да си знаел числата от тото-то и да не си пуснал фиша.

[inveidar]

Сега разделяш на два интеграла:
$$\int\frac{sin^{\cancel{2}}u}{\cancel{sinu}cosu}du+\int\frac{cos^{\cancel{2}}u}{sinu\cancel{cosu}}du=\int\frac{sinu}{cosu}du+\int\frac{cosu}{sinu}du$$

Интеграл от тангенс и котангенс са таблични интеграли. Можеш да спреш до тук със субституциите.

[KOPMOPAH]

Сега разделяш на два интеграла:
$$\int\frac{sin^{\cancel{2}}u}{\cancel{sinu}cosu}du+\int\frac{cos^{\cancel{2}}u}{sinu\cancel{cosu}}du=\int\frac{sinu}{cosu}du+\int\frac{cosu}{sinu}du$$

Интеграл от тангенс и котангенс са таблични интеграли. Можеш да спреш до тук със субституциите.

То и $\int \frac1{\sin{x}}\,dx$ е табличен интеграл, ама човекът Гост иска да знае как се решават


За начало малко теория

Известно е, че интеграли от вида $\int R(\sin{x},\cos{x})\,dx$ (където $R(\sin{x},\cos{x})$ е рационална функция) могат да бъдат рационализрани чрез универсалната субституция.
За такива интеграли полагаме $t=\operatorname{tg} \frac{x}{2}~(-\pi<x<\pi)$
Получаваме тъждествата $\sin{x}=\frac{2 \operatorname{tg}\dfrac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}\,,\qquad \cos{x}=\frac{1-\operatorname{tg}^2\dfrac{x}{2}}{1+ \operatorname{tg}^2\dfrac{x}{2}}= \frac{1-t^2}{1+t^2}\,$
Изразяваме променливата $x$ чрез $t$.
Имаме $\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}=t,~-\frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}$, следователно $x=2 \operatorname{arctg}t$, откъдето $ dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}$
В крайна сметка получихме $\int R(\sin{x},\cos{x})\,dx= \int R\!\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \frac{2\,dt}{1+t^2}\,$, т.е. задачата се свежда до намиране на интеграл от рационална функция. Понеже субституцията $t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}$ позволява рационализирането на всеки интеграл от вида $\int R(\sin{x},\cos{x})\,dx$ тя с основание е наречена универсална. Всеки интеграл от този вид се изразява с елементарни функции.

Например,
$\int\frac{dx}{2\sin{x}+3\cos{x}+4}$ с използване на универсалната субституция $t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2},-\pi<x<\pi$ става $2\sin{x}+3\cos{x}+4= 2\cdot\frac{2t}{1+t^2}+ 3\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}+4= \frac{t^2+4t+7}{1+t^2},\quad dx= \frac{2\,dt}{1+t^2}\,$

$\begin{aligned}\int\frac{dx}{2\sin{x}+3\cos{x}+4}&= \int\frac{\dfrac{2\,dt}{1+ t^2}}{\dfrac{t^2+4t+7}{1+t^2}}= 2\int\frac{dt}{t^2+4t+7}= 2\int\frac{dt}{(t+2)^2+3}=\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\frac{t+2}{\sqrt{3}}+C= \frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}\frac{\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}+2}{\sqrt{3}}+C \end{aligned}
$