Определен интеграл

[Гост]

[tex]\int\limits_{-1}^{1}\frac{2u^{332}+u^{998}+4u^{1664}sinu^{691}}{1+u^{666}}du[/tex]

[Гост]

[tex]\int\limits_{-1}^{1}\frac{2u^{332}+u^{998}+4u^{1664}sinu^{691}}{1+u^{666}}du[/tex]

[tex]\frac{4u^{1664}sinu^{691}}{1+u^{666}}[/tex] е нечетна относно u, значи там интегралът ще е 0, другото някво полагане...

[Гост]

[tex]\int\limits_{-1}^{1}\frac{2u^{332}+u^{998}+4u^{1664}sinu^{691}}{1+u^{666}}du[/tex]

[tex]\frac{4u^{1664}sinu^{691}}{1+u^{666}}[/tex] е нечетна относно u, значи там интегралът ще е 0, другото някво полагане...

Полагаме [tex]v=u^{333}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]u=v^{\frac{1}{333}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]du=\frac{1}{333}v^{\frac{-332}{333}}dv[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\int\limits_{-1}^{1}\frac{2u^{332}+u^{998}}{1+u^{666}}du=\frac{1}{333}\int\limits_{-1}^{1}\frac{2+v^{2}}{1+v^{2}}dv=\frac{1}{333}\int\limits_{-1}^{1}(1+\frac{1}{1+v^{2}})dv=\frac{2}{333}\int\limits_{0}^{1}(1+\frac{1}{1+v^{2}})dv=\frac{2}{333}(1+\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+v^{2}}dv)=\frac{2}{333}(1+arctan1)=\frac{2}{333}(1+\frac{\pi}{4})[/tex]