Задача 2

[Гост]

Да се намери:

a) [tex]\int\limits_{-4\pi\sqrt{2}}^{4\pi\sqrt{2}}(\frac{sinx}{1+x^{4}}+1)dx[/tex]
b) [tex]f(99)f'(99)[/tex], ако [tex]f(x)=x+\frac{1}{2x+\frac{1}{2x+\frac{1}{2x+\frac{1}{...}}}}[/tex], [tex]x>0[/tex]
в) максималната стойност на лицето на правоъгълен триъгълник, вписан в полуокръжност с радиус 1/2 по такъв начин, че единият от катетите му лежи на диаметъра на полуокръжността;
г) вероятността произволно избрана окръжност във вътрешността на окръжност к с радиус 1 да съдържа центъра на к;
д) частта от обема на Земята, която лежи над 45 градусовия северен паралел, ако приемем, че Земята има сферична форма;
e) [tex]\lim_{x \to \infty}\frac{A_{n }}{B_{n }}[/tex], където [tex]A_{n }[/tex] е лицето на областта между правилен n-ъгълник и описаната му окръжност, а [tex]B_{n }[/tex]-лицето на областта извън вписаната му окръжност, но вътрешна за n-ъгълника

[Гост]

e) [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{A_{n }}{B_{n }}[/tex]

[Гост]

Да се намери:

a) [tex]\int\limits_{-4\pi\sqrt{2}}^{4\pi\sqrt{2}}(\frac{sinx}{1+x^{4}}+1)dx[/tex]
b) [tex]f(99)f'(99)[/tex], ако [tex]f(x)=x+\frac{1}{2x+\frac{1}{2x+\frac{1}{2x+\frac{1}{...}}}}[/tex], [tex]x>0[/tex]
в) максималната стойност на лицето на правоъгълен триъгълник, вписан в полуокръжност с радиус 1/2 по такъв начин, че единият от катетите му лежи на диаметъра на полуокръжността;
г) вероятността произволно избрана окръжност във вътрешността на окръжност к с радиус 1 да съдържа центъра на к;
д) частта от обема на Земята, която лежи над 45 градусовия северен паралел, ако приемем, че Земята има сферична форма;
e) [tex]\lim_{x \to \infty}\frac{A_{n }}{B_{n }}[/tex], където [tex]A_{n }[/tex] е лицето на областта между правилен n-ъгълник и описаната му окръжност, а [tex]B_{n }[/tex]-лицето на областта извън вписаната му окръжност, но вътрешна за n-ъгълника

a) [tex]\frac{sinx}{1+x^{4}}[/tex] е нечетна и там интегралът е нула[tex]\Rightarrow[/tex][tex]I=8\pi\sqrt{2}[/tex]

[Гост]

Да се намери:

a) [tex]\int\limits_{-4\pi\sqrt{2}}^{4\pi\sqrt{2}}(\frac{sinx}{1+x^{4}}+1)dx[/tex]
b) [tex]f(99)f'(99)[/tex], ако [tex]f(x)=x+\frac{1}{2x+\frac{1}{2x+\frac{1}{2x+\frac{1}{...}}}}[/tex], [tex]x>0[/tex]
в) максималната стойност на лицето на правоъгълен триъгълник, вписан в полуокръжност с радиус 1/2 по такъв начин, че единият от катетите му лежи на диаметъра на полуокръжността;
г) вероятността произволно избрана окръжност във вътрешността на окръжност к с радиус 1 да съдържа центъра на к;
д) частта от обема на Земята, която лежи над 45 градусовия северен паралел, ако приемем, че Земята има сферична форма;
e) [tex]\lim_{x \to \infty}\frac{A_{n }}{B_{n }}[/tex], където [tex]A_{n }[/tex] е лицето на областта между правилен n-ъгълник и описаната му окръжност, а [tex]B_{n }[/tex]-лицето на областта извън вписаната му окръжност, но вътрешна за n-ъгълника

б) вижда се, че [tex]f(x)-x=\frac{1}{x+f(x)}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f^{2}(x)-x^{2}=1[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f(x)=\sqrt{1+x^{2}}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f(x)f'(x)=x[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f(99)f'(99)=99[/tex]

[Гост]

За да съдържа новата окръжност центъра на к, трябва нейният център да е на разстояние не по-голямо от 1/2. Нека означим с х разстоянието м/у

двата центра. Тогава [tex]0\le[/tex][tex]x[/tex][tex]\le\frac{1}{2}[/tex]. Трябва ни функция, която приема стойности от 1 до 0 за всяко х от

интервала. [tex]f(x)=1-\frac{x}{1-x}[/tex]. Тогава вероятността е [tex]\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}(1-\frac{x}{1-x})dx=\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x}{1-x}=\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}(-1+\frac{1}{1-x})dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+ln(\frac{1}{2})=1-ln2[/tex]

[Гост]

Нека става дума за единичната сфера [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/tex]. Сеченията с равнини, успоредни на OXY, са окръжности с радиус [tex]\sqrt{1-z^{2}}[/tex] и лице [tex]\pi(1-z^{2})[/tex]. Тогава обемът е [tex]\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\pi(1-z^{2})dz=\pi(\frac{2}{3}-\frac{5\sqrt{2}}{12})[/tex]. Като разделим на целия обем [tex]\frac{4}{3}\pi[/tex], получаваме [tex]\frac{8-5\sqrt{2}}{16}[/tex]

[Гост]

zd.PNG (41.65 KiB) Прегледано 526 пъти

Да се намери:
e) [tex]\lim_{x \to \infty}\frac{A_{n }}{B_{n }}[/tex], където [tex]A_{n }[/tex] е лицето на областта между правилен n-ъгълник и описаната му окръжност, а [tex]B_{n }[/tex]-лицето на областта извън вписаната му окръжност, но вътрешна за n-ъгълника

Нека страната на n-ъгълника е 1 [tex]\Rightarrow[/tex] радиусът на вписаната окръжност [tex]r[/tex] е [tex]\frac{1}{2}cot\frac{\pi}{n}[/tex], радиусът на описаната окръжност [tex]R[/tex] е [tex]\frac{1}{2}csc\frac{\pi}{n}[/tex], а лицето на n-ъгълника е [tex]\frac{n}{4}cot\frac{\pi}{n}[/tex] (по формулата [tex]S=p.r[/tex]). Тогава [tex]A_{n }=\pi(\frac{1}{2}csc\frac{\pi}{n})^{2}-\frac{n}{4}cot\frac{\pi}{n}[/tex] и [tex]B_{n }=\frac{n}{4}cot\frac{\pi}{n}-\pi(\frac{1}{2}cot\frac{\pi}{n})^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{A_{n }}{B_{n }}=\frac{\pi\left(csc\frac{\pi}{n}\right)^{2}-n.cot\frac{\pi}{n}}{n.cot\frac{\pi}{n}-\pi\left(cot\frac{\pi}{n}\right)^{2}}[/tex]. Умножаваме числителя и знаменателя с [tex]\left(sin\frac{\pi}{n}\right)^{2} \Rightarrow \frac{A_{n }}{B_{n }}=\frac{\pi-n.cos\frac{\pi}{n}sin\frac{\pi}{n}}{n.cos\frac{\pi}{n}sin\frac{\pi}{n}-\pi cos^{2}\frac{\pi}{n}}[/tex]. За [tex]cos[/tex] и [tex]sin[/tex] използваме реда на Тейлър: [tex]sin\frac{\pi}{n}=\frac{\pi}{n}-\frac{\left(\frac{\pi}{n}\right)^{3}}{6}+...[/tex]
[tex]cos\frac{\pi}{n}=1-\frac{\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2}}{2}+...[/tex]
Интересува ни най-виcоката степен на [tex]n[/tex] в числителя и знаменателя-тя е [tex]n^{-2}[/tex] и в двата случая:
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{A_{n }}{B_{n }}=\lim_{n \to \infty}\frac{\pi-n\frac{\pi}{n}+n\frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{n}\right)^{3}+...}{n\frac{\pi}{n}-n\frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{n}\right)^{3}-\pi+\pi\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2}+...}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2}{3}\frac{\pi^{3}}{n^{2}}+...}{\frac{1}{3}\frac{\pi^{3}}{n^{2}}+...}=2[/tex].

[Гост]

2.PNG (26.48 KiB) Прегледано 497 пъти

Да се намери:
в) максималната стойност на лицето на правоъгълен триъгълник, вписан в полуокръжност с радиус 1/2 по такъв начин, че единият от катетите му лежи на диаметъра на полуокръжността;

Нека катетът [tex]BH[/tex] на търсения триъгълник има дължина [tex]x \Rightarrow AH=1-x[/tex]. В правоъгълния [tex]\triangle ACB[/tex] [tex]CH[/tex] е геометричната среда на [tex]AH[/tex] и [tex]BH[/tex] [tex]\Rightarrow CH=\sqrt{x(1-x)}[/tex].
[tex]\Rightarrow S_{\triangle BHC }=\frac{x\sqrt{x(1-x)}}{2}=\frac{\sqrt{x^{3}-x^{4}}}{2}[/tex]
Търсим [tex]max[/tex] на [tex]f(x)=x^{3}-x^{4}[/tex]
[tex]f'(x)=3x^{2}-4x^{3}=0 \Rightarrow x=0 \lor x=\frac{3}{4}[/tex]
Максимумът се достига при [tex]x=\frac{3}{4} \Rightarrow \boxed {max (S)=\frac{3\sqrt{3}}{32}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]