Задача 3

[Гост]

Да се намери:

a) наклонът на допирателната към [tex]y=x^{3}-3x^{2}+6x+c[/tex] в точката на инфлексия;
б) C, ако графиката на [tex]y=sinx+C[/tex] разделя правоъгълник със широчина [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] и височина 4, разположен в първи и четвърти квадранти и разполовен от абсцисната ос, на две равнолицеви части;
в) при коя стойност на х от интервала (0, [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]) [tex]tanx+cotx[/tex] достига минимум;
г) стандартната форма (в която не се използват суми) на f(х), ако [tex]f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{x^{i}}{i}[/tex], -1<x<1;
д) у-ето на кривата, която се допира до всички прави от фамилията [tex]y=\frac{2}{x_{0 }}+x(1-\frac{1}{x_{0 }^{2}})[/tex], където [tex]x_{0 }[/tex] е положително реално число;
e) [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin\alpha)d\alpha[/tex]
ж) f'(a), ако f(a)=4 и [tex]f(x)=\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+...}}}}}[/tex]

[Kre4etalo]

д) Означаваме $$F(x,y,x_0)=y-\frac{2}{x_0}+x\left(1-\frac{1}{x_0^2}\right)$$
Множеството от точки $(x,y)$, които лежат върху тази крива удовлетворява уравненията $F(x,y,x_0)=0$ и $F'_{x_0}(x,y,x_0)=0$. Директно намираме, че търсената крива е $$(x,y)=\left(x_0,\frac{1+x_0^2}{x_0}\right)$$
е) Този интеграл е известен. Използва се, че синусът може да се смени с косинус, прибавят се двата интеграла, прави се смяна на променливите и се стига до същия, като междувременно се е появил един логаритъм от 2. Може да пробвате подобен интеграл, но с втора (или по-голяма) степен на логаритъма. Също решим, но доста по-труден.

ж) Ако означим $$g(x)=\sqrt[4]{x+\sqrt[4]{x+\cdots}}$$ виждаме, че $f(x)=g^2(x)$ и $g(x)=g^4(x)-x\ (*)$. Понеже $f(a)=4$, то $g(a)=2$ (положителна функция) и като заместим в [tex](*)[/tex] намираме $a=14$. $f'(14)=2g(14)g'(14)=4g'(14)$. Диференцираме $(*)$ и решаваме спрямо $g'(x)$ - $$g'(x)=\frac{1}{4g^3(x)+1}$$ Заместваме $x=14$ и намираме $g'(14)=\frac{1}{33}$. (По индукция лесно може да се докаже, че редицата дефинираща $g$ е по-малка от $3$ при $x=78$, така че редицата е сходяща (понеже е монотонна) и функцията е добре дефинирана при стойности на $x$ по-малки от 78, в частност 14.)

[Гост]

Да се намери:

a) наклонът на допирателната към [tex]y=x^{3}-3x^{2}+6x+c[/tex] в точката на инфлексия;
б) C, ако графиката на [tex]y=sinx+C[/tex] разделя правоъгълник със широчина [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] и височина 4, разположен в първи и четвърти квадранти и разполовен от абсцисната ос, на две равнолицеви части;
в) при коя стойност на х от интервала (0, [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]) [tex]tanx+cotx[/tex] достига минимум;
г) стандартната форма (в която не се използват суми) на f(х), ако [tex]f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{x^{i}}{i}[/tex], -1<x<1;
д) у-ето на кривата, която се допира до всички прави от фамилията [tex]y=\frac{2}{x_{0 }}+x(1-\frac{1}{x_{0 }^{2}})[/tex], където [tex]x_{0 }[/tex] е положително реално число;
e) [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin\alpha)d\alpha[/tex]
ж) f'(a), ако f(a)=4 и [tex]f(x)=\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+...}}}}}[/tex]

a) [tex]y'=3x^{2}-6x+6[/tex], [tex]y''=6x-6[/tex], [tex]6x-6=0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x=1[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f'|_{x=1 }=3[/tex]

[Гост]

Да се намери:

a) наклонът на допирателната към [tex]y=x^{3}-3x^{2}+6x+c[/tex] в точката на инфлексия;
б) C, ако графиката на [tex]y=sinx+C[/tex] разделя правоъгълник със широчина [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] и височина 4, разположен в първи и четвърти квадранти и разполовен от абсцисната ос, на две равнолицеви части;
в) при коя стойност на х от интервала (0, [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]) [tex]tanx+cotx[/tex] достига минимум;
г) стандартната форма (в която не се използват суми) на f(х), ако [tex]f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{x^{i}}{i}[/tex], -1<x<1;
д) у-ето на кривата, която се допира до всички прави от фамилията [tex]y=\frac{2}{x_{0 }}+x(1-\frac{1}{x_{0 }^{2}})[/tex], където [tex]x_{0 }[/tex] е положително реално число;
e) [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin\alpha)d\alpha[/tex]
ж) f'(a), ако f(a)=4 и [tex]f(x)=\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+...}}}}}[/tex]

г) [tex]f'(x)=\sum_{i=0}^{\infty }x^i=\frac{1}{1-x}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f(x)=-ln(1-x)[/tex]

[Гост]

Да се намери:

a) наклонът на допирателната към [tex]y=x^{3}-3x^{2}+6x+c[/tex] в точката на инфлексия;
б) C, ако графиката на [tex]y=sinx+C[/tex] разделя правоъгълник със широчина [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] и височина 4, разположен в първи и четвърти квадранти и разполовен от абсцисната ос, на две равнолицеви части;
в) при коя стойност на х от интервала (0, [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]) [tex]tanx+cotx[/tex] достига минимум;
г) стандартната форма (в която не се използват суми) на f(х), ако [tex]f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{x^{i}}{i}[/tex], -1<x<1;
д) у-ето на кривата, която се допира до всички прави от фамилията [tex]y=\frac{2}{x_{0 }}+x(1-\frac{1}{x_{0 }^{2}})[/tex], където [tex]x_{0 }[/tex] е положително реално число;
e) [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin\alpha)d\alpha[/tex]
ж) f'(a), ако f(a)=4 и [tex]f(x)=\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+\sqrt{0+\sqrt{x+...}}}}}[/tex]

в) [tex]tanx=y[/tex], [tex]f(y)=y+\frac{1}{y}[/tex], [tex]y\in(0; \infty)[/tex]
[tex]minf=2[/tex], [tex]y=1[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x=arctan1=\frac{\pi}{4}[/tex]

[Гост]

д) Означаваме $$F(x,y,x_0)=y-\frac{2}{x_0}+x\left(1-\frac{1}{x_0^2}\right)$$
Множеството от точки $(x,y)$, които лежат върху тази крива удовлетворява уравненията $F(x,y,x_0)=0$ и $F'_{x_0}(x,y,x_0)=0$. Директно намираме, че търсената крива е $$(x,y)=\left(x_0,\frac{1+x_0^2}{x_0}\right)$$
е) Този интеграл е известен. Използва се, че синусът може да се смени с косинус, прибавят се двата интеграла, прави се смяна на променливите и се стига до същия, като междувременно се е появил един логаритъм от 2. Може да пробвате подобен интеграл, но с втора (или по-голяма) степен на логаритъма. Също решим, но доста по-труден.

ж) Ако означим $$g(x)=\sqrt[4]{x+\sqrt[4]{x+\cdots}}$$ виждаме, че $f(x)=g^2(x)$ и $g(x)=g^4(x)-x\ (*)$. Понеже $f(a)=4$, то $g(a)=2$ (положителна функция) и като заместим в [tex](*)[/tex] намираме $a=14$. $f'(14)=2g(14)g'(14)=4g'(14)$. Диференцираме $(*)$ и решаваме спрямо $g'(x)$ - $$g'(x)=\frac{1}{4g^3(x)+1}$$ Заместваме $x=14$ и намираме $g'(14)=\frac{1}{33}$. (По индукция лесно може да се докаже, че редицата дефинираща $g$ е по-малка от $3$ при $x=78$, така че редицата е сходяща (понеже е монотонна) и функцията е добре дефинирана при стойности на $x$ по-малки от 78, в частност 14.)

ж) [tex](f^{2}(x)-x)^{2}=f(x)[/tex], [tex]f'(x)=\frac{2x-2f^{2}(x)}{1-4f^{3}(x)+4xf(x)}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]f'(14)=\frac{4}{31}[/tex]

[Гост]

б) графиката трябва да минава симетрично през правоъгълника, т.е. двете лица от първи и четвърти кадрант, заключени между графиката и абсцисната ос, трябва да са равни [tex]\int\limits_{a}^{b}(sinx+C)dx=0[/tex]. Ако пресечната точка на правоъглника с абсцисната ос е (0,0) или ако го транслираме до там, ще получим [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(sinx+C)dx=0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]-cosx+Cx|_{0 }^{\frac{\pi}{4}}=0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\pi}{4}C+1=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]C=\frac{2\sqrt{2}-4}{\pi}[/tex]. Ако правоъгълникът е на разстояние d от (0,0) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\int\limits_{d}^{d+\frac{\pi}{4}}(sinx+C)dx=0[/tex], полагаме [tex]t=x-d[/tex], [tex]0\le[/tex][tex]t[/tex][tex]\le\frac{\pi}{4}[/tex], [tex]dt=dx[/tex], [tex]x=t+d[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(sin(t+d)+C)dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(sin(t+d)+C)d(t+d)[/tex] (това е аналитичната интерпретация на гореспоменатата транслация), и получаваме същия интеграл.