Задача 5

[Гост]

Да се намери:

а) f'(1), ако [tex]f(x)=1+x+x^{2}+...+x^{100}[/tex];

б) наклонът на l, ако l е права, минаваща през (0, 0) и допираща се до [tex]y=x^{3}+x+16[/tex];

в) всички [tex]y>1[/tex], които удовлетворяват [tex]\int\limits_{1}^{y}xlnxdx=\frac{1}{4}[/tex];

г) (a, b), ако a, b са константи такива, че [tex]\lim_{x \to 1}\frac{(ln(2-x))^{2}}{x^{2}+ax+b}=1[/tex];

д) [tex]f^{(n)}(0)[/tex] (n-тата производна), ако [tex]f(x)=sin^{6}(\frac{x}{4})+cos^{6}(\frac{x}{4})[/tex], [tex]\forall[/tex][tex]x[/tex][tex]\in[/tex][tex]R[/tex];

е) [tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n }{n \choose k}^{-1}[/tex];

ж) [tex]p[/tex] такова, че [tex]\lim_{x \to \infty}x^{p}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}-2\sqrt[3]{x})[/tex] е някакво ненулево реално число;

з) [tex]e^{T}[/tex], ако [tex]T=\int\limits_{0}^{ln2}\frac{2e^{2x}+e^{x}-e^{-x}}{e^{2x}+e^{x}-1+e^{-x}}dx[/tex];

и) [tex]\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})}(1^{1}.2^{2}.....n^{n})^{\frac{1}{n^{2}}}[/tex];

й) [tex]\int\limits_{0}^{1}lnx ln(1-x)dx[/tex]

[Гост]

а) събиране на числата от 1 до 100=[tex]\frac{1+100}{2}100=5050[/tex]

[Гост]

з) [tex]2e^{2x}+e^{x}-e^{-x}[/tex] е производната на [tex]e^{2x}+e^{x}-1+e^{-x}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]T=ln|e^{2x}+e^{x}-1+e^{-x}||_{0 }^{ln2}[/tex] [tex]=ln(4+2-1+\frac{1}{2})-ln2=ln(\frac{11}{4})[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex][tex]e^{T}=\frac{11}{4}[/tex]

За по-голяма сложност, можеше да се умножат числителят и знаменателят с [tex]e^{x}[/tex]

[grav]

а) събиране на числата от 1 до 100=[tex]\frac{1+100}{2}100=5050[/tex]

[tex]f(1)=1+1+1^2+\cdots+1^{100}[/tex]

[Davids]

а) събиране на числата от 1 до 100=[tex]\frac{1+100}{2}100=5050[/tex]

[tex]f(1)=1+1+1^2+\cdots+1^{100}[/tex]

Търси се производната с аргумент 1 Наистина невзрачно апострофче над $f$-то, но да.

[aifC]

й) Интегрираш по части, след това правиш две субституции и стигаш до полилогаритмична функция, правиш още една субституция и стигаш до стандартен интеграл.

[Гост]

й) Интегрираш по части, след това правиш две субституции и стигаш до полилогаритмична функция, правиш още една субституция и стигаш до стандартен интеграл.

ко каза, ко?

[Гост]

г) два пъти се слага знаменателят да бъде равен на нула, за да има неопределеност "0/0", и два пъти се прилага правилото на Лопитал, за да се получи a=-2, b=1

https://www.youtube.com/watch?v=ukR-80FpN98

[Гост]

в) след интегрира се по части, получава се [tex]y^{2}lny=\frac{1}{2}y^{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]lny=\frac{1}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]y=\sqrt{e}[/tex]

[grav]

Търси се производната с аргумент 1 Наистина невзрачно апострофче над $f$-то, но да.

I kakvo e smeshnoto tuk(!), ne sum go vidial, dostatuchno e da go posochish, no prismeh!

[Davids]

Търси се производната с аргумент 1 Наистина невзрачно апострофче над $f$-то, но да.

I kakvo e smeshnoto tuk(!), ne sum go vidial, dostatuchno e da go posochish, no prismeh!

Защо да е присмех като лична обида към теб? Именно се „подхилквам“ заради това че е забавно трудно за виждане „малкото апострофче“... Какъв е именно дори резонът да бих ти се присмивал за такава глупост така или иначе?!

[grav]

Kak da znam na kakvo se smeesh!

[Гост]

б) нека точката на допиране е ([tex]t[/tex], [tex]t^{3}+t+16[/tex])-тогава наклонът на l е [tex]\frac{t^{3}+t+16}{t}[/tex]. От друга страна, понеже [tex]\frac{dy}{dx}=3x^{2}+1[/tex], наклонът на l е [tex]3t^{2}+1[/tex]. Тогава [tex]\frac{t^{3}+t+16}{t}=3t^{2}+1[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]t^{3}=8[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]t=2[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] наклонът е 13

[Гост]

й) развиваме по ред на Маклорин [tex]ln(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-...[/tex]
Тогава [tex]I=\int\limits_{0}^{1}lnx.ln(1-x)dx=-\int\limits_{0}^{1}lnx.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n}dx=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\int\limits_{0}^{1}x^{n}lnxdx[/tex]
Интегрираме по части [tex]\int\limits_{0}^{1}x^{n}lnxdx=\frac{x^{n+1}lnx}{n+1}|_{0 }^{1}-\int\limits_{0}^{1}\frac{x^{n}}{n+1}dx=-\frac{1}{(n+1)^{2}}[/tex](понеже [tex]\lim_{x \to 0}x^{n}.lnx=0[/tex], [tex]n>0[/tex], използвайки правилото на Лопитал)
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]I=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^{2}})=2-\frac{\pi^{2}}{6}[/tex]

[Гост]

и) Логаритмуваме израза на границата и получаваме [tex]-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n}).ln(n)+\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n }k.lnk=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n }\frac{k}{n}ln(\frac{k}{n})[/tex].
Това е Римановата сума за интеграла [tex]\int\limits_{0}^{1}xlnxdx[/tex].

[tex]\int\limits_{0}^{1}xlnxdx=\frac{1}{2}x^{2}lnx|_{0 }^{1}-\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{2}dx=-\frac{1}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] границата е [tex]e^{-\frac{1}{4}}[/tex]



https://www.youtube.com/watch?v=gACCfaI3GAA

[Гост]

Да се намери:
д) [tex]f^{(n)}(0)[/tex] (n-тата производна), ако [tex]f(x)=sin^{6}(\frac{x}{4})+cos^{6}(\frac{x}{4})[/tex], [tex]\forall[/tex][tex]x[/tex][tex]\in[/tex][tex]R[/tex];

[tex]sin^{6}x+cos^{6}x=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{3}-3sin^{2}x.cos^{2}x(sin^{2}x+cos^{2}x)=1-3sin^{2}x.cos^{2}x=1-\frac{3}{4}sin^{2}2x=[/tex]
[tex]=1-\frac{3}{4}\left(\frac{1-cos4x}{2}\right)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x[/tex].
[tex]\Rightarrow f(x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cosx[/tex]
[tex]f'(x)=-\frac{3}{8}sinx \Rightarrow f'(0)=0[/tex]
[tex]f''(x)=-\frac{3}{8}cosx \Rightarrow f''(0)=-\frac{3}{8}[/tex]
[tex]f'''(x)=\frac{3}{8}sinx \Rightarrow f'''(0)=0[/tex]
[tex]f''''(x)=\frac{3}{8}cosx \Rightarrow f''''(0)=\frac{3}{8}[/tex]
[tex]\Rightarrow f^{(n)}(0)=\left\{0, -\frac{3}{8}, 0, \frac{3}{8}\right\}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

Да се намери:
ж) [tex]p[/tex] такова, че [tex]\lim_{x \to \infty}x^{p}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}-2\sqrt[3]{x})[/tex] е някакво ненулево реално число;

Полагаме [tex]x=\frac{1}{t}, t=\frac{1}{x}[/tex]
[tex]\Rightarrow x\rightarrow \infty, t\rightarrow 0[/tex]
[tex]\Rightarrow L=\lim_{t \to 0}t^{-p}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{t}+1}+\sqrt[3]{\frac{1}{t}-1}-2\sqrt[3]{\frac{1}{t}}\right)=\lim_{t \to 0}t^{-p-\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}-2\right)[/tex]
[tex]\sqrt[3]{1+t}=1+\frac{1}{3}t-\frac{1}{9}t^{2}+O(t^{2})[/tex]
[tex]\sqrt[3]{1-t}=1-\frac{1}{3}t-\frac{1}{9}t^{2}+O(t^{2})[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}-2=-\frac{2}{9}t^{2}+O(t^{2})[/tex]
За да може да се съкрати с първия член, [tex]-p-\frac{1}{3}=-2\Rightarrow \boxed {p=\frac{5}{3}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]