Задача 6

[Гост]

Да се намери:

а) минимумът на [tex]f(x)=\frac{(x+\frac{1}{x})^{6}-x^{6}-\frac{1}{x^{6}}-2}{(x+\frac{1}{x})^{3}+x^{3}+\frac{1}{x^{3}}}[/tex];

б) на какво разстояние от стената, върху която е закачена картина с височина [tex]a[/tex], трябва да застане посетител в музей, за да има оптимална видимост, ако е известно още, че долният ръб на картината е на разстояние [tex]h[/tex] от нивото на погледа;

в) минималният периметър на триъгълник, единият връх на който е (а, b) (0<b<а), другият-на абсцисната ос, а третият-на правата y=х;

г) максималното лице на осмоъгълника [tex]P_{1 }P_{2 }P_{3 }P_{4 }P_{5 }P_{6 }P_{7 }P_{8 }[/tex], вписан в окръжност, като върховете му лежат върху нея в същия ред, ако [tex]P_{1 }P_{3 }P_{5 }P_{7 }[/tex] е квадрат с лице 5, а [tex]P_{2 }P_{4 }P_{6 }P_{8 }[/tex]-правоъгълник с лице 4;

д) за кои положителни реални двойки (а, b) интегралът [tex]\int\limits_{b}^{\infty}(\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}})dx[/tex]
e сxодящ;

е) лицето на повърхнината на онази част от H, лежаща над равнинната област в P, ако H е единичната полусфера {(x, y, z): [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/tex], z[tex]\ge0[/tex]}, C-единичната окръжност {(x, y, 0): [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]}, а P-правилен петоъгълник, вписан в C;

ж) каква е зависимостта между а, b и c, ако елипса с полуоси а и b се търкаля, без да се плъзга, по кривата [tex]y=csin(\frac{x}{a})[/tex] по такъв начин, че при едно пълно завъртане изминава един период от кривата;

з) [tex]\lim_{\varphi \to 0}|EF|[/tex], ако [tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен с прав ъгъл при върха C, [tex]\angle[/tex]BАC=[tex]\varphi[/tex], AC=AD=1 (D[tex]\in[/tex]AB), [tex]\angle[/tex]CDE=[tex]\varphi[/tex] (E[tex]\in[/tex]BC) и ако перпендикулярът на BC през Е пресича АB в F

[S.B.]

Да се намери:

а) минимумът на [tex]f(x)=\frac{(x+\frac{1}{x})^{6}-x^{6}-\frac{1}{x^{6}}-2}{(x+\frac{1}{x})^{3}+x^{3}+\frac{1}{x^{3}}}[/tex];

Налага се да се преработи функцията,за да добие "по-приличен" вид и да може да се диференцира по-лесно.
[tex]f(x) = \frac{(x + \frac{1}{x})^{6} - x^{6} - \frac{1}{x^{6}} - 2}{(x + \frac{1}{x})^{3} + x^{3} + \frac{1}{x^{3}}} = \frac{((x + \frac{1}{x})^{3})^{2} - [(x^{3})^{2} + (\frac{1}{x})^{3})^{2}] - 2 }{(x + \frac{1}{x})^{3} + (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})} =[/tex]
[tex]= \frac{((x + \frac{1}{x})^{3})^{2} - [(x^{3} + \frac{1}{x^{3}})^{2} - 2.x^{3}.\frac{1}{x^{3}}] - 2}{(x + \frac{1}{x})^{3} +( x^{3} + \frac{1}{x^{3}})} = \frac{((x + \frac{1}{x})^{3})^{2} - (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})^{2}}{(x + \frac{1}{x})^{3} + (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})} =[/tex]
[tex]= \frac{[(x + \frac{1}{x})^{3}) + (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})].[(x + \frac{1}{x})^{3} - (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})] }{(x + \frac{1}{x})^{3} + (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})} = (x + \frac{1}{x})^{3} - x^{3} - \frac{1}{x^{3}} =[/tex]
[tex]x^{3} + 3x^{2}\frac{1}{x} + 3x\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = 3x + \frac{3}{x} = 3.\frac{x^{2} + 1}{x}[/tex]
[tex]f(x) = 3. \frac{x^{2} + 1}{x}[/tex] ; [tex]f'(x) = 3.\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} \ge 0 \Rightarrow x^{2} - 1 \ge 0[/tex]
За [tex]x \in (-1 , 1)[/tex] функцията намалява и за [tex]x = 1[/tex] има минимум
[tex]f_{min } = f(1) = 6[/tex]

[Гост]

ж) параметрично елипсата е зададена така: [tex]x=acos\varphi[/tex], [tex]y=bsin\varphi[/tex]
периметърът на елипсата е [tex]\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}sin^{2}\varphi+b^{2}cos^{2}\varphi}d\varphi[/tex]
Дължината на един период от синусоидата е [tex]\int\limits_{0}^{2\pi.a}\sqrt{1+\frac{c^{2}}{a^{2}}cos^{2}(\frac{x}{a})}dx=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}+c^{2}cos^{2}\varphi}d\varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]a^{2}+c^{2}cos^{2}\varphi=a^{2}sin^{2}\varphi+b^{2}cos^{2}\varphi[/tex]
Но [tex]a^{2}+c^{2}cos^{2}\varphi=a^{2}(sin^{2}\varphi+cos^{2}\varphi)+c^{2}cos^{2}\varphi=a^{2}sin^{2}\varphi+(a^{2}+c^{2})cos^{2}\varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]b^{2}=a^{2}+c^{2}[/tex]

[Гост]

Zadach.PNG (19.43 KiB) Прегледано 763 пъти

б) Оптимална видимост=ъгълът на наблюдение [tex]\varphi[/tex] трябва да е най-голям. Нека разстоянието от стената е х, нивото на погледа е АВ.
[tex]\varphi=\alpha-\beta[/tex], [tex]tan\beta=\frac{h}{x}[/tex], [tex]tan\alpha=\frac{a+h}{x}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]tan\varphi=tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha.tan\beta}=\frac{\frac{a+h}{x}-\frac{h}{x}}{1+\frac{a+h}{x}.\frac{h}{x}}=\frac{ax}{x^{2}+ah+h^{2}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\varphi(x)=arctan\frac{ax}{x^{2}+ah+h^{2}}[/tex]
Производната е [tex]\varphi'(x)=(arctan\frac{ax}{x^{2}+ah+h^{2}})'=\frac{1}{1+(\frac{ax}{x^{2}+ah+h^{2}})^{2}}.(\frac{ax}{x^{2}+ah+h^{2}})'=\frac{(x^{2}+ah+h^{2})^{2}}{(x^{2}+ah+h^{2})^{2}+(ax)^{2}}.\frac{a(x^{2}+ah+h^{2})-ax.2x}{(x^{2}+ah+h^{2})^{2}}=\frac{ax^{2}+a^{2}h+ah^{2}-2ax^{2}}{(x^{2}+ah+h^{2})^{2}+a^{2}x^{2}}=\frac{a^{2}h+ah^{2}-ax^{2}}{(x^{2}+ah+h^{2})^{2}+a^{2}x^{2}}=\frac{a(ah+h^{2}-x^{2})}{(x^{2}+ah+h^{2})^{2}+a^{2}x^{2}}[/tex].
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\varphi'(x)=0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]ah+h^{2}-x^{2}=0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x=\sqrt{h(a+h)}[/tex]
В тази точка [tex]\varphi(x)[/tex] достига максимум, защото когато минава през нея, производната сменя знака си от + към -
[tex]\Rightarrow[/tex] посетителят трябва да застане на разстояние [tex]\sqrt{(a+h)h}[/tex] от стената.

[Гост]

a.PNG (35.81 KiB) Прегледано 722 пъти

в) Нека А'(b,а) е симетрична на А(а,b) относно у=х и нека А''(а,-b) е симетрична на А относно у=0. Тогава правата у=х е симетрала на АА' и всяка точка от нея е равноотдалечена от А и А'. Аналогично, правата у=0 е симетрала на АА'' и всяка точка от нея е равноотдалечена от А и А''. Тогава периметърът на произволен [tex]\triangle[/tex]АВС е равен на дължината на пречупената линия с върхове В, С, А' и А'', а тя е минимална, когато 4-те точки лежат на една права. В този случай дължината е разстоянието между А' и А''.

[tex]d(A',A'')=\sqrt{(b-a))^{2}+(a+b)^{2}}=\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}[/tex]

Наклонът на А'А'' е [tex]\triangle[/tex]y/[tex]\triangle[/tex]x[tex]=\frac{a+b}{b-a}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]правата през А' и А'' е с у-е [tex]l:[/tex][tex]y+b=\frac{a+b}{b-a}(x-a)[/tex]
Тогава C ще е пресечната точка на [tex]l[/tex] и y=x [tex]\Rightarrow[/tex][tex]C(\frac{a^{2}+b^{2}}{2a},\frac{a^{2}+b^{2}}{2a})[/tex]. Аналогично, B ще е пресечната точка на [tex]l[/tex] и y=0[tex]\Rightarrow[/tex][tex]B(\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b},0)[/tex].

[Гост]

Да се намери:
е) лицето на повърхнината на онази част от H, лежаща над равнинната област в P, ако H е единичната полусфера {(x, y, z): [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/tex], z[tex]\ge0[/tex]}, C-единичната окръжност {(x, y, 0): [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]}, а P-правилен петоъгълник, вписан в C;

Лицето е равно на половината от разликата на лицето на цялата сфера и 5 полярни шапки:

[tex]S=\frac{1}{2}\left(4\pi-5\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{5}} sin\varphi d\varphi d\theta\right)=2\pi-5\pi \left(-cos \frac{\pi}{5}+1\right)=-3\pi+5\pi cos \frac{\pi}{5}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

zada.PNG (20.54 KiB) Прегледано 660 пъти

Да се намери:
з) [tex]\lim_{\varphi \to 0}|EF|[/tex], ако [tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен с прав ъгъл при върха C, [tex]\angle[/tex]BАC=[tex]\varphi[/tex], AC=AD=1 (D[tex]\in[/tex]AB), [tex]\angle[/tex]CDE=[tex]\varphi[/tex] (E[tex]\in[/tex]BC) и ако перпендикулярът на BC през Е пресича АB в F

[tex]EF\parallel CA\Rightarrow \triangle EFB\sim \triangle CAB\Rightarrow \frac{EF}{CA}=EF=\frac{EB}{CB}=\frac{CB-CE}{CB}=1-\frac{CE}{CB}=1-\frac{CE}{tan\varphi}=[/tex]
[tex]=1-\left(\frac{\frac{CD.sin\varphi}{sin(\angle CED)}}{tan\varphi}\right)[/tex] (синусова теорема за [tex]\triangle CED[/tex])

[tex]=1-\frac{CD.cos\varphi}{sin(\angle DEB)}[/tex]

[tex]\triangle CAD[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow CD=2.sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)[/tex] и [tex]\angle CDA=\frac{\pi-\varphi}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle DEB=\angle ADE-\angle ABE=\frac{\pi-\varphi}{2}+\varphi-\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)=\frac{3\varphi}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow EF=1-\frac{2sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)cos\varphi}{sin\left(\frac{3\varphi}{2}\right)}=1-\frac{sin\left(\frac{3\varphi}{2}\right)-sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{sin\left(\frac{3\varphi}{2}\right)}=\frac{sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{sin\left(\frac{3\varphi}{2}\right)}[/tex]

[tex]\Rightarrow \lim_{\varphi \to 0}|EF|=\lim_{\varphi \to 0}\frac{\frac{1}{2}cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\frac{3}{2}cos\left(\frac{3\varphi}{2}\right)}=\frac{1}{3}[/tex] (Лопитал). [tex]_\square[/tex]

[Гост]

Да се намери:
д) за кои положителни реални двойки (а, b) интегралът [tex]\int\limits_{b}^{\infty}(\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}})dx[/tex]
e сxодящ;

Подинтегралната функция е дефинирана и непрекъсната за всички [tex]x\ge b[/tex] и остава да се провери сходимост при [tex]\infty[/tex]
Ако [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex], от теоремата за средните стойности следва, че [tex]\exists h, 0<h<a[/tex] такова, че [tex]f(x+a)-f(x)=f'(x+h)a[/tex], и [tex]\exists k, 0<k<b[/tex] такова, че [tex]f(x)-f(x-b)=f'(x-k)b[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=\frac{a}{2\sqrt{x+h}}[/tex] и [tex]\sqrt{x}-\sqrt{x-b}=\frac{b}{2\sqrt{x-k}}[/tex]
[tex]\Rightarrow\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}(x+h)^{\frac{1}{4}}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}(x-k)^{\frac{1}{4}}}[/tex]
[tex]=\frac{(x-k)^{\frac{1}{4}}\sqrt{a}-(x+h)^{\frac{1}{4}}\sqrt{b}}{\sqrt{2}(x+h)^{\frac{1}{4}}(x-k)^{\frac{1}{4}}}[/tex]
[tex]=\frac{(a^{2}-b^{2})x-(ka^{2}+hb^{2})}{\sqrt{2}(x+h)^{\frac{1}{4}}(x-k)^{\frac{1}{4}}\left[(x-k)^{\frac{1}{4}}\sqrt{a}+(x+h)^{\frac{1}{4}}\sqrt{b}\right]\left[(x-k)^{\frac{1}{2}}a+(x+h)^{\frac{1}{2}}b\right]}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] подинтегралната функция е [tex]O(x^{-\frac{1}{4}})[/tex] за [tex]a\ne b[/tex] и [tex]O(x^{-\frac{5}{4}})[/tex] за [tex]a=b[/tex]
Понеже [tex]\int\limits_{1}^{\infty}x^{-\frac{1}{4}}dx[/tex] е разходящ, а [tex]\int\limits_{1}^{\infty}x^{-\frac{5}{4}}dx[/tex] е сходящ, интегралът е сходящ за [tex]a=b[/tex]

[Гост]

jjhljh.PNG (24.95 KiB) Прегледано 523 пъти

Да се намери:
з) [tex]\lim_{\varphi \to 0}|EF|[/tex], ако [tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен с прав ъгъл при върха C, [tex]\angle[/tex]BАC=[tex]\varphi[/tex], AC=AD=1 (D[tex]\in[/tex]AB), [tex]\angle[/tex]CDE=[tex]\varphi[/tex] (E[tex]\in[/tex]BC) и ако перпендикулярът на BC през Е пресича АB в F

[tex]A:=(0,0),B:=(|AB|,0),|AB|=1/\cos\varphi=\sec\varphi[/tex]
[tex]\tan(\pi+\varphi)=-\cot\varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow \overline{CB}:y=-\cot\varphi(x-|AB|)=\frac{-x\cos\varphi+1}{\sin\varphi}[/tex]
[tex]\angle ADC=(\pi-\varphi)/2\Rightarrow \angle EDB=(\pi-\varphi)/2\Rightarrow \tan(\angle EDB)=\cot\left(\frac{\varphi}{2}\right)[/tex]
[tex]\Rightarrow \overline{DE}:y=\cot(\varphi/2)(x-1)=\frac{\sin\varphi}{1-\cos\varphi}(x-1)[/tex]
[tex]\overline{CB}\cap \overline{DE}=E(x,y)[/tex]:
[tex]\frac{-x\cos\varphi+1}{\sin\varphi}=\frac{\sin\varphi}{1-\cos\varphi}(x-1)\Rightarrow x=\frac{2+\cos\varphi}{1+2\cos\varphi}[/tex]
[tex]\Rightarrow y=-\cot\varphi\frac{2+\cos\varphi}{1+2\cos\varphi}+\frac{1}{\sin\varphi}[/tex]
[tex]|EF|=\frac{y}{\sin\varphi}=\frac{1}{2+\cos\varphi}\rightarrow \frac{1}{3},\varphi\rightarrow 0[/tex]