Задача 7

[Гост]

Да се намери:

а) [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+(tan x)^{\sqrt{2}}}[/tex];

б) за кои реални [tex]c[/tex] неравенството [tex]\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\le e^{cx^{2}}[/tex] е изпълнено за всички реални [tex]x[/tex];

в) разстоянието между върховете на стрелките с дължини [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex] на точен часовник в момента, когато то се увеличава най-бързо;

г) максималното лице на [tex]P=ABCDE[/tex], ако [tex]P[/tex] е изпъкнал петоъгълник, вписан в окръжност с радиус 1, [tex]AC \bot BD[/tex] и върховете му се намират в същия ред;

д) минимумът на [tex](u-v)^{2}+(\sqrt{2-u^{2}}-\frac{9}{v})^{2}[/tex] за [tex]0<u<\sqrt{2}[/tex] и [tex]v>0[/tex];

е) максимумът на [tex]f(x)=x^{3}-3x[/tex] в множеството на всичките реални [tex]x[/tex], удовлетворяващи [tex]x^{4}+36\le 13x^{2}[/tex];

ж) [tex]\sum_{n=0}^{\infty }Arccot(n^{2}+n+1)[/tex];

з) [tex]\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{ln(9-x)}dx}{\sqrt{ln(9-x)}+\sqrt{ln(x+3)}}[/tex].

[Гост]

Да се намери:

а) [tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+(tan x)^{\sqrt{2}}}[/tex];

Полагаме [tex]x=\frac{\pi}{2}-u[/tex]
[tex]dx=-du[/tex]
[tex]tanx=cot(u)[/tex]
[tex]x=0\rightarrow u=\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}\rightarrow u=0[/tex]
[tex]\Rightarrow I=\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{-du}{1+(cot u)^{\sqrt{2}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1+(cot u)^{\sqrt{2}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(tan u)^{\sqrt{2}}du}{1+(tan u)^{\sqrt{2}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+(tan u)^{\sqrt{2}}-1}{1+(tan u)^{\sqrt{2}}}du=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}du-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1+(tan u)^{\sqrt{2}}}[/tex]
[tex]I=\frac{\pi}{2}-I\Rightarrow 2I=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \boxed{I=\frac{\pi}{4}}[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=nxtIRArhVD4

[Гост]

geo.PNG (51.97 KiB) Прегледано 539 пъти

Да се намери:
г) максималното лице на [tex]P=ABCDE[/tex], ако [tex]P[/tex] е изпъкнал петоъгълник, вписан в окръжност с радиус 1, [tex]AC \bot BD[/tex] и върховете му се намират в същия ред;

Нека [tex]\angle AOB=x[/tex], [tex]\angle AOE=y[/tex], [tex]\angle EOD=z \Rightarrow \angle BCA=\frac{x}{2}[/tex]. От правоъгълния [tex]\triangle BFC\Rightarrow \angle FBC=\angle DBC=\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \Rightarrow \angle COD=\pi-x \Rightarrow \angle BOC=\pi-y-z[/tex]. Лицето на [tex]P[/tex] е сумата от лицата на 5-те триъгълника с общ връх [tex]O[/tex]:

[tex]S=\frac{1}{2}sin(x)+\frac{1}{2}sin(\pi-x)+\frac{1}{2}sin(y)+\frac{1}{2}sin(z)+\frac{1}{2}sin(\pi-y-z)[/tex]

За първите две събираеми максимум се достига при [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]. За останалите "на око" се вижда, че максимум ще има при [tex]y=z=\frac{\pi}{3}[/tex] или [tex]y=z=\frac{\pi}{4}[/tex]. При първото се получава по-голямата стойност. Формалното обяснение е следното:

[tex]f(y, z)=sin(y)+sin(z)+sin(\pi-y-z)[/tex]
[tex]f_{y }=cos(y)-cos(\pi-y-z)[/tex]
[tex]f_{z }=cos(z)-cos(\pi-y-z)[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} cos(y) = cos(\pi-y-z)\\ cos(z) = cos(\pi-y-z) \end{array} \Rightarrow (y, z)=(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})[/tex]

[tex]f_{yz }=f_{zy }=-sin(\pi-y-z)[/tex]
[tex]f_{yy }=-sin(y)-sin(\pi-y-z)[/tex]
[tex]f_{zz }=-sin(z)-sin(\pi-y-z)[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta =f_{yy }f_{zz }-f_{yz }^{2}[/tex], [tex]\Delta (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})=\frac{9}{4}>0\Rightarrow \exists \,{min} \lor\, max[/tex]
[tex]f_{yy }(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}<0\Rightarrow max[/tex]
[tex]max(S)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\boxed{1+\frac{3\sqrt{3}}{4}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

ec.PNG (8.22 KiB) Прегледано 531 пъти

Да се намери:
в) разстоянието между върховете на стрелките с дължини [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex] на точен часовник в момента, когато то се увеличава най-бързо;

Нека [tex]OA[/tex] е фиксираната стрелка, а [tex]OB[/tex] се върти с постоянна бързина [tex]|\vec{v}|[/tex]. [tex]\vec{v}[/tex] е векторът на скоростта на точка [tex]B[/tex], който е винаги перпендикулярен на [tex]OB[/tex]. Темпото, с което се променя разстоянието между точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], е компонентата на [tex]\vec{v}[/tex] в посоката на [tex]\vec{AB}[/tex]. Тази компонента е максимална, когато [tex]\angle ABO[/tex] е прав, т.е когато разстоянието [tex]AB=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\boxed{\sqrt{7}}[/tex]

[Гост]

ec.PNG (8.22 KiB) Прегледано 527 пъти

Да се намери:
в) разстоянието между върховете на стрелките с дължини [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex] на точен часовник в момента, когато то се увеличава най-бързо;

Ето още едно обяснение: нека [tex]AB=x[/tex], [tex]\angle AOB=\varphi \Rightarrow x^{2}=25-24cos\varphi[/tex] (косинусовa теорема), [tex]x=\sqrt{25-24cos\varphi}[/tex]
[tex]2x\frac{dx}{d\varphi}=24sin\varphi\Rightarrow \frac{dx}{d\varphi}=\frac{12sin\varphi}{x}[/tex]
Търсим кога това темпо ще е най-голямо. За целта намираме неговата производна (втората производна) и я приравняваме към нула:
[tex]\frac{d^{2}x}{d\varphi^{2}}=\frac{(12sin\varphi)'x-12sin\varphi(x)'}{x^{2}}=\frac{12cos\varphi x-12sin\varphi \frac{dx}{d\varphi}}{x^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\varphi x-\frac{12sin^{2}\varphi}{x}=0 \Leftrightarrow cos\varphi x^{2}-12sin^{2}\varphi=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cos\varphi (25-24cos\varphi)-12(1-cos^{2}\varphi)=0 \Leftrightarrow 12cos^{2}\varphi-25cos\varphi+12=0 \Rightarrow cos\varphi=\frac{3}{4}\Rightarrow \boxed{x=\sqrt{7}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

Да се намери:
е) максимумът на [tex]f(x)=x^{3}-3x[/tex] в множеството на всичките реални [tex]x[/tex], удовлетворяващи [tex]x^{4}+36\le 13x^{2}[/tex];

[tex]x^{4}+36\le 13x^{2}\Leftrightarrow x^{4}-13x^{2}+36=(x^{2}-4)(x^{2}-9)\le 0\Leftrightarrow (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\le 0[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in [-3, -2] \cup [2, 3][/tex]
[tex]f'(x)=3x^{2}-3>0[/tex] и в двата интервала [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] е растяща и в двата интервала [tex]\Rightarrow[/tex] максимумът ще бъде при един от двата десни края на интервалите:
[tex]max(f(x))=max(f(-2), f(3))=max(-2, 18)=18[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

Да се намери:
б) за кои реални [tex]c[/tex] неравенството [tex]\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\le e^{cx^{2}}[/tex] е изпълнено за всички реални [tex]x[/tex];

[tex]0\le \lim_{x \to 0}\frac{e^{cx^{2}}-\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})}{x^{2}}=\lim_{x \to 0}\frac{(1+cx^{2}+...)-(1+\frac{1}{2}x^{2}+...)}{x^{2}}=c-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \boxed{c\ge \frac{1}{2}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

Да се намери:
з) [tex]\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{ln(9-x)}dx}{\sqrt{ln(9-x)}+\sqrt{ln(x+3)}}[/tex].

Полагаме [tex]9-x=y+3\Rightarrow x=6-y[/tex], [tex]y=6-x[/tex]
[tex]dx=-dy[/tex]
[tex]x=2\rightarrow y=4[/tex]
[tex]x=4\rightarrow y=2[/tex]
[tex]\Rightarrow I=\int\limits_{4}^{2}\frac{\sqrt{ln(y+3)}}{\sqrt{ln(y+3)}+\sqrt{ln(9-y)}}(-dy)=\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{ln(y+3)}dy}{\sqrt{ln(y+3)}+\sqrt{ln(9-y)}}=\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{ln(x+3)}dx}{\sqrt{ln(x+3)}+\sqrt{ln(9-x)}}[/tex]
[tex]\Rightarrow I+I=2I=\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{ln(9-x)}dx}{\sqrt{ln(9-x)}+\sqrt{ln(x+3)}}+\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{ln(x+3)}dx}{\sqrt{ln(x+3)}+\sqrt{ln(9-x)}}=[/tex]
[tex]=\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{ln(9-x)}+\sqrt{ln(x+3)}}{\sqrt{ln(9-x)}+\sqrt{ln(x+3)}}dx=\int\limits_{2}^{4}dx=2[/tex]
[tex]\Rightarrow\boxed{I=1}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

7.PNG (43.42 KiB) Прегледано 423 пъти

Да се намери:
д) минимумът на [tex](u-v)^{2}+(\sqrt{2-u^{2}}-\frac{9}{v})^{2}[/tex] за [tex]0<u<\sqrt{2}[/tex] и [tex]v>0[/tex];

Търси се минимумът на квадрата на разстоянието между окръжността [tex]u^{2}+v^{2}=2[/tex] в първи квадрант и хиперболата [tex]uv=9[/tex] в първи квадрант. Допирателните към окръжността и хиперболата съответно в точките [tex](1,1)[/tex] и [tex](3,3)[/tex] са успоредни и са перпендикулярни на [tex]u=v[/tex]. Минималното разстояние между двете графики е [tex]|BC|=\sqrt{8} \Rightarrow[/tex] минимумът на функцията е [tex]8[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

Да се намери:
ж) [tex]\sum_{n=0}^{\infty }Arccot(n^{2}+n+1)[/tex];

[tex]cot(\alpha-\beta)=\frac{cot\alpha cot\beta+1}{cot\beta-cot\alpha}\Rightarrow arccot(1+n+n^{2})=arccot(n)-arccot(n+1)[/tex]
[tex]\sum =\lim_{n \to \infty}(arccot0-arccot(n+1))=\frac{\pi}{2}[/tex]. [tex]_\square[/tex]