Задача 8

[Гост]

Да се намери:

а) лицето на [tex]R[/tex] и да се начертае [tex]R[/tex], ако [tex]R[/tex] е областта, състояща се от всички точки [tex](x, y)[/tex] в равнината, удовлетворяващи [tex]|x|-|y|\le 1[/tex] и [tex]|y|\le 1[/tex];

б) за кои реални [tex]x[/tex] сумата [tex]\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}csc\frac{1}{n}-1)^{x}[/tex] съществува;

в) [tex]\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{b}e^{max(b^{2}x^{2}, a^{2}y^{2})}dydx[/tex], [tex]a>0[/tex], [tex]b>0[/tex];

г) [tex]|z|[/tex], ако [tex]11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0[/tex];

д) вероятността уцелената точка върху квадратна мишена в игра на дартс да е по-близо до центъра, отколкото до някой ръб, ако всеки две равнолицеви части от мишената са с еднаква вероятност да бъдат уцелени;

е) максимумът на [tex]\frac{s_{1 }-s_{2 }}{d}[/tex] и да се опишат случаите (ако съществуват), когато той се достига, ако трапец, вписан в единичната окръжност, има върхове [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] и [tex]D[/tex], разположени в посока, обратна на часовниковата стрелка, и [tex]s_{1 }[/tex], [tex]s_{2 }[/tex] и [tex]d[/tex] са дължините на отсечките [tex]AB[/tex], [tex]CD[/tex] и [tex]OE[/tex], където [tex]E[/tex] е пресечната точка на диагоналите на трапеца, а [tex]O[/tex] е центърът на описаната му окръжност;

ж) максимумът на [tex]\int\limits_{0}^{y}\sqrt{x^{4}+(y-y^{2})^{2}}dx[/tex];

з) [tex]\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{2207-...}}}[/tex].

[Гост]

e) [tex]AB \parallel CD[/tex]

[Гост]

а) 4 б) x>1/2

[Добромир Глухаров]

з) $\sqrt[8]{\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}}\approx\frac{1}{\varphi}+\sqrt{5}$

[Maximianus Herculius]

8з) 16 отговора, произлизащи от двата корена на уравнението [tex]z^2-2207z+1=0[/tex]
- това, ако говорим за комплексни корени.

[Maximianus Herculius]

8г)
[tex]\left |z \right |=1[/tex]
Ето и добавка от AI - всички корени в комплексната равнина.

C_корени.png (10.79 KiB) Прегледано 3331 пъти

[Добромир Глухаров]

Редицата $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$, зададена с рекурентната връзка $a_n=2207-\frac{1}{a_{n-1}}$ има единствена точка на сгъстяване $a_{\infty}=\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}$, решение на квадратното уравнение $a^2-2207a+1=0$. Другият корен на квадратното уравнение не е точка на сгъстяване за $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ - следващите стойности на $a_n$ "бягат" от този друг корен.
Значи отговорът е $\sqrt[8]{\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}}$

[Добромир Глухаров]

Ето и една програмка на LISP, писана в LispWorks:

Код: Избери целия код

(defun rec-f (a)
  (if (< (abs a) 0.000001)
      1000
    (- 2207 (/ 1 a))))
(defun rec-iter (n a eps i)
  (if (< i n)
      (if (< (abs (- (rec-f a) a)) eps)
          (rec-f a)
        (rec-iter n (rec-f a) eps (+ 1 i)))
    'OverFlow))
(defun rec (n a eps)
  (rec-iter n a eps 0))

Ако след компилиране и зареждане в Listener въведем например:

Код: Избери целия код

rec 100 #c(-3.1 -4.1) 0.000001

,

ще получим:

Код: Избери целия код

#C(2206.9995 -6.54027E-15)

Можем да опитаме и с други комплексни числа за начало на итерациите, но аз не успях да получа друга граница на редицата, освен реалното число $2206.9995...$

Значи решения са осемте корена на уравнението $z^8=\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}$

[Kre4etalo]

Да допуснем, че съществуват рационални $a,b$, такива че за $z_1=a+b\sqrt{5}$ е изпълнено $z_1^8=\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}$.
Тогава за $z_2=a-b\sqrt{5}$ имаме $z_2^8=\frac{2207-987\sqrt{5}}{2}$, откъдето $z_1^8+z_2^8=2207$ и $$(z_1z_2)^8=\left(\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{2207-987\sqrt{5}}{2}\right)=1,$$ откъдето $z_1z_2=1$ (ако се вземе $z_1z_2=-1$ и се продължи както надолу, няма да се стигне до рационални решения). Така излиза $a^2=5b^2+1$. Заместваме $a=\sqrt{5b^2+1}$ в $z_1^8+z_2^8-2207=0$ и след разкриване на скобите (например с Нютоновия бином) стигаме $$2 \left(80000 b^8+32000 b^6+4000 b^4+160 b^2+1\right)-2207=0.$$ Изразът отляво се разлага над рационалните числа като $$5 (2 b-1) (2 b+1) \left(20 b^2+9\right) \left(400 b^4+80 b^2+49\right)$$.
При $b=\frac{1}{2}$, получаваме $a=\frac{3}{2}$ и действително, проверка ни показва, че $$\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^8=\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}.$$

EDIT: Ако полученият полином ви се струва необозрим, може да използваме структурата на корена, който търсим - 8. Може да търсим квадратен корен от нашето число, после квадратен корен от полученото и накрая още веднъж. Така ще имаме повече стъпки - 3, но реализацията на всяка стъпка ще бъде доста по-лесна - ще използваме само квадратни полиноми. За да не се получи разклоняване все пак, е необходимо на всяка стъпка да търсим квадратен корен от вида $a+b\sqrt{5}$, където $a,b>0$.

[aifC]

8
д) [tex]P = \frac{1}{3}(4\sqrt{2} - 5)[/tex], това се получава ако примерно страната на мишената е 2м и можем да я разделим на осем равни части, премсмятаме лицето на една от тях и т.н., може да се реши и чрез полярно координати.

[Гост]

zadc.PNG (49.75 KiB) Прегледано 3250 пъти

Да се намери:
в) [tex]\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{b}e^{max(b^{2}x^{2}, a^{2}y^{2})}dydx[/tex], [tex]a>0[/tex], [tex]b>0[/tex];

Интегрира се върху правоъгълник с размери [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]. Правата, която съдържа диагонала на правоъгълника, е с уравнение [tex]l: y=\frac{b}{a}x[/tex] и разделя правоъгълника на две области-[tex]R_1[/tex] и [tex]R_2[/tex]. Всяка точка от [tex]l[/tex] задоволява равенството [tex]bx=ay[/tex]. Ако от произволна такава точка стигнем до точка [tex]F_1 (x+\Delta x, y)[/tex] от вътрешността на [tex]R_1[/tex], ще имаме [tex]b(x+\Delta x)>bx=ay \Rightarrow b^{2}x^{2}>a^{2}y^{2}[/tex] в [tex]R_1[/tex]. Аналогично, за точка [tex]F_2 (x, y+\Delta y)[/tex] от вътрешността на [tex]R_2[/tex] ще имаме [tex]a(y+\Delta y)>ay=bx \Rightarrow a^{2}y^{2}>b^{2}x^{2}[/tex] в [tex]R_2[/tex].
Разделяме дадения интеграл на два интеграла и намираме:
[tex]I=\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{\frac{b}{a}x}e^{b^{2}x^{2}}dydx+\int\limits_{0}^{b}\int\limits_{0}^{\frac{a}{b}y}e^{a^{2}y^{2}}dxdy=I_{1 }+I_{2 }[/tex]
[tex]I_1=\int\limits_{0}^{a}\frac{bx}{a}e^{b^{2}x^{2}}dx=\frac{1}{2ab}\int\limits_{0}^{a}e^{b^{2}x^{2}}d(b^{2}x^{2})=\frac{1}{2ab}e^{a^{2}b^{2}}-\frac{1}{2ab}[/tex]
[tex]I_2=\int\limits_{0}^{b}\frac{ay}{b}e^{a^{2}y^{2}}dy=\frac{1}{2ab}\int\limits_{0}^{b}e^{a^{2}y^{2}}d(a^{2}y^{2})=\frac{1}{2ab}e^{a^{2}b^{2}}-\frac{1}{2ab}[/tex]
[tex]\Rightarrow \boxed{I=\frac{e^{a^{2}b^{2}}-1}{ab}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=UThHEKqkZhU

[Гост]

gr.PNG (13.72 KiB) Прегледано 3221 пъти

Да се намери:
а) лицето на [tex]R[/tex] и да се начертае [tex]R[/tex], ако [tex]R[/tex] е областта, състояща се от всички точки [tex](x, y)[/tex] в равнината, удовлетворяващи [tex]|x|-|y|\le 1[/tex] и [tex]|y|\le 1[/tex];

Частта от [tex]R[/tex], която е в първи квадрант, е определена от правите [tex]x=0, y=0, x-y=1[/tex] и [tex]y=1[/tex]. Това е трапец с върхове [tex](0, 0), (1, 0), (2, 1), (0, 1)[/tex] и лице [tex]\frac{3}{2}[/tex]. Понеже [tex](x, y) \in R \Rightarrow (\pm x, \pm y) \in R[/tex], частите от [tex]R[/tex] в другите квадранти се намират чрез осни симетрии спрямо координатните оси [tex]\Rightarrow S_{R }=4.\frac{3}{2}=6[/tex]. [tex]_\square[/tex]

[Гост]

Да се намери:
г) [tex]|z|[/tex], ако [tex]11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0[/tex];

[tex]z^{9}=\dfrac{11-10iz}{11z+10i}, z=a+bi \Rightarrow |z^{9}|=\left|\dfrac{11-10iz}{11z+10i}\right|=\sqrt{\dfrac{|11^{2}+220b+10^{2}(a^{2}+b^{2})|}{|11^{2}(a^{2}+b^{2})+220b+10^{2}|}}\equiv \dfrac{f(a,b)}{g(a,b)}[/tex]
Ако [tex]a^{2}+b^{2}> 1 \Rightarrow g(a,b)> f(a,b) \Rightarrow |z^{9}|< 1 \Rightarrow противоречие[/tex]
Ако [tex]a^{2}+b^{2}< 1 \Rightarrow f(a,b)> g(a,b) \Rightarrow |z^{9}|> 1 \Rightarrow противоречие[/tex]
[tex]\Rightarrow |z|=1[/tex].

[Гост]

Да се намери:
ж) максимумът на [tex]\int\limits_{0}^{y}\sqrt{x^{4}+(y-y^{2})^{2}}dx[/tex];

За [tex]0\le y\le 1[/tex]. Нека [tex]I(y)=\int\limits_{0}^{y}\sqrt{x^{4}+(y-y^{2})^{2}}dx[/tex]. Ще покажем, че функцията е растяща
[tex]I'(y)=\sqrt{y^{4}+(y-y^{2})^{2}}+\int\limits_{0}^{y}\dfrac{(y-y^{2})(1-2y)}{\sqrt{x^{4}+(y-y^{2})^{2}}}dx[/tex]
[tex]0< y\le \dfrac{1}{2} \Rightarrow I'(y)>0[/tex]
[tex]y>\dfrac{1}{2} \Rightarrow I'(y)>0 \Leftrightarrow \sqrt{y^{4}+(y-y^{2})^{2}}>(y-y^{2})(2y-1)\int\limits_{0}^{y}\dfrac{dx}{\sqrt{x^{4}+(y-y^{2})^{2}}}[/tex]
Понеже [tex]\int\limits_{0}^{y}\dfrac{dx}{\sqrt{x^{4}+(y-y^{2})^{2}}}\le \int\limits_{0}^{y}\dfrac{dx}{\sqrt{(y-y^{2})^{2}}}=\dfrac{y}{y-y^{2}}[/tex], достатъчно е да покажем, че
[tex]\sqrt{y^{4}+(y-y^{2})^{2}}\ge (2y-1)y[/tex] за [tex]\dfrac{1}{2}\le y\le 1[/tex], което е еквивалентно на
[tex]y^{4}+(y-y^{2})^{2}\ge (2y-1)^{2}y^{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y^{2}+(1-y)^{2}\ge (2y-1)^{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2y^{2}-2y+1\ge 4y^{2}-4y+1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2y\ge 2y^{2}[/tex], като последното е вярно
[tex]\Rightarrow I(y)\le I(1)=\int\limits_{0}^{1}x^{2}dx=\dfrac{1}{3}[/tex]