Задачи от граници

[Гост]

Здравейте! От няколко дни ме мъчи тази задача. Някой може ли да помогне?

[Гост]

комбинация от логаритмуване, Лопитал и Тейлър-Маклорин?

[Гост]

...тури и едно полагане, ей така, да има...

[Гост]

Пробвай Лопитал, като логаритмуваш числителя...трябва да се получи 1/5.

[Гост]

всъщност трябва да се получи 5/5=1.

[Гост]

Ето какво имам предвид:

[tex]f(x)=(1+sinx^{2})^{sin^{3}x}-1, g(x)=x^{5}[/tex]
[tex]f(x)+1=(1+sinx^{2})^{sin^{3}x}[/tex]
[tex]ln(f(x)+1)=sin^{3}x.ln(1+sinx^{2})[/tex]
[tex]\frac{f'(x)}{1+f(x)}=3sin^{2}x.cosx.ln(1+sinx^{2})+sin^{3}x.\frac{cosx^{2}.2x}{1+sinx^{2}}[/tex]
[tex]f'(x)=\left[3sin^{2}x.cosx.ln(1+sinx^{2})+sin^{3}x.\frac{cosx^{2}.2x}{1+sinx^{2}}\right].(1+sinx^{2})^{sin^{3}x}[/tex]
[tex]g'(x)=5x^{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{\left[3\frac{sin^{2}x}{x^{2}}.cosx.\frac{ln(1+sinx^{2})}{x^{2}}+\frac{sin^{3}x}{x^{3}}.\frac{cosx^{2}}{1+sinx^{2}}.\frac{2\cancel x}{\cancel x}\right].(1+sinx^{2})^{sin^{3}x}}{5}[/tex]
[tex]\frac{sinx}{x}\rightarrow 1, x\rightarrow 0[/tex]
[tex]\frac{ln(1+sinx^{2})}{x^{2}}\rightarrow 1, x\rightarrow 0[/tex] (Лопитал)
[tex]\frac{f'}{g'}\rightarrow \frac{5}{5}=1, x\rightarrow 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \boxed{L=1}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=2rtNOAQW9BU