Меню
а) i. броят на върховeте на [tex]S[/tex],
[tex]\quad[/tex]ii. броят на ръбовете на [tex]S[/tex],
[tex]\quad[/tex]iii. да се изобрази [tex]S[/tex] и да се скицира в [tex]bc[/tex]-равнината множеството на точките [tex](b, c)[/tex], за които [tex](2, 5, 4)[/tex] е една от точките [tex](x, y, z)[/tex], при които линейната функция [tex]bx+cy+z[/tex] достига максимум в [tex]S[/tex], ако [tex]S[/tex] е множеството на всички точки [tex](x, y, z)[/tex], които удовлетворяват неравенствата:
[tex]\quad[/tex][tex]x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0[/tex],
[tex]\quad[/tex][tex]x+y+z\le 11[/tex],
[tex]\quad[/tex][tex]2x+4y+3z\le 36[/tex],
[tex]\quad[/tex][tex]2x+3z\le 24[/tex];
б) обемът на [tex]\mathcal{R}[/tex], ако [tex]\mathcal{R}[/tex] е областта на точките между [tex]S[/tex] и [tex]C[/tex], които са по-близо до [tex]v[/tex], отколкото до някой друг връх, където [tex]v[/tex] е избран връх на куба [tex]C[/tex] със страна [tex]4[/tex], а [tex]S[/tex] е най-голямата сфера, която може да се впише в [tex]C[/tex];
в) лицето на областта над оста [tex]Ox[/tex] и под кривата, която е траекторията на точката, чиято първоначална позиция е [tex](1, 1)[/tex], ако [tex]2\times 3[/tex] правоъгълник с върхове [tex](0, 0), (2, 0), (0, 3), (2, 3)[/tex] се завърта на [tex]90^\circ[/tex] по посока на часовниковата стрелка около точката [tex](2, 0)[/tex], след това-на [tex]90^\circ[/tex] в същата посока около [tex](5, 0)[/tex], на [tex]90^\circ[/tex] в същата посока около [tex](7, 0)[/tex] и на края-на [tex]90^\circ[/tex] в същата посока около [tex](10, 0)[/tex], като след всички тези ротации страната, която първоначално е върху абсцисната ос, е сега обратно върху нея;
г) лицето на областта [tex]\{(x, y)|(a_{n }(x, y))_{n\ge 0 } \,е \,сходяща\}[/tex], ако за всяка двойка реални числа [tex](x, y)[/tex] редицата [tex](a_{n }(x, y))_{n\ge 0 }[/tex] е дефинирана, както следва:
[tex]\quad[/tex][tex]a_{0 }(x, y)=x,[/tex]
[tex]\quad[/tex][tex]a_{n+1 }(x, y)=\frac{a_{n }^{2}(x, y)+y^{2}}{2}, \forall n\ge 0[/tex];
д) [tex]c[/tex] така, че лицата на двете затъмнени области да са равни, ако правата [tex]y=c[/tex] пресича кривата [tex]y=2x-3x^{3}[/tex] в първи квадрант, както е показано (вж. чертежа);
- 9д).PNG (10.84 KiB) Прегледано 917 пъти
е) положителното число [tex]m[/tex] такова, че [tex]S[/tex] е равно на лицето на областта в първи квадрант, ограничена от правите [tex]y=mx[/tex], [tex]Oy[/tex] и елипсата [tex]\frac{1}{9}x^{2}+y^{2}=1[/tex], ако [tex]S[/tex] e лицето на областта в първи квадрант, ограничена от правата [tex]y=\frac{1}{2}x[/tex], [tex]Ox[/tex] и елипсата [tex]\frac{1}{9}x^{2}+y^{2}=1[/tex];
ж) дължината на [tex]BC[/tex], ако правоъгълникът [tex]HOMF[/tex] има страни [tex]HO=11[/tex] и [tex]OM=5[/tex], [tex]H[/tex] е ортоцентърът на [tex]\triangle ABC[/tex], [tex]O[/tex] е центърът на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност, [tex]M[/tex] е средата на [tex]BC[/tex], а [tex]F[/tex] е петата на височината, спусната от [tex]A[/tex];
з) лицето на [tex]\triangle RST[/tex], ако лицето на [tex]\triangle ABC[/tex] е [tex]1[/tex], точките [tex]E, F, G[/tex] лежат съответно на страните [tex]BC, CA, AB[/tex], като [tex]AE[/tex] разполовява [tex]BF[/tex] в точка [tex]R[/tex], [tex]BF[/tex] разполовява [tex]CG[/tex] в точка [tex]S[/tex] и [tex]CG[/tex] разполовява [tex]AE[/tex] в точка [tex]T[/tex];
и) може ли дъга от парабола, намираща се в окръжност с радиус [tex]1[/tex], да има дължина, по-голяма от [tex]4[/tex];
й) всички реални числа [tex]a>0[/tex], за които съществува неотрицателна непрекъсната функция [tex]f(x), x\in [0, a][/tex] със свойството, че областта [tex]\mathcal{R}=\{(x, y) : 0 \le x \le a, 0 \le y \le f(x)\}[/tex] има периметър [tex]k[/tex] единици и лице [tex]k[/tex] квадратни единици за някое реално [tex]k[/tex].
