Пълен диференциал на мултипроменлива функция

[Гост]

Здравейте, превеждам условието на задачата от английски и не знам българския еквивалент на термините, за което се извинявам. Това е функцията: [tex]f(x,y,z)=z^{0.y}.y^{4x}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Нещо не е наред с условието. $z^{0.y}=z^0=1$ и стойността на функцията изобщо не зависи от $z$. Може би $0.y=\frac{y}{10}$?

[Добромир Глухаров]

$f(x,y,z)=z^{\frac{y}{10}}y^{4x}$

$df(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

$\frac{\partial f}{\partial x}=(z^{\frac{y}{10}}.y^{4x})'_x=z^{\frac{y}{10}}y^{4x}lny(4x)'_x=4z^{\frac{y}{10}}y^{4x}lny$

$\frac{\partial f}{\partial y}=\left(z^{\frac{y}{10}}\cdot\frac{lnz}{10}\right)y^{4x}+z^{\frac{y}{10}}(4x)y^{4x-1}=\frac{z^{\frac{y}{10}}lnz.y^{4x}}{10}+4xz^{\frac{y}{10}}y^{4x-1}$

$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{y}{10}z^{\frac{y}{10}-1}y^{4x}$

$df(x,y,z)=4z^{\frac{y}{10}}y^{4x}lnydx+\left(\frac{z^{\frac{y}{10}}lnz.y^{4x}}{10}+4xz^{\frac{y}{10}}y^{4x-1}\right)dy+\frac{y}{10}z^{\frac{y}{10}-1}y^{4x}dz$

[Гост]

Нещо не е наред с условието. $z^{0.y}=z^0=1$ и стойността на функцията изобщо не зависи от $z$. Може би $0.y=\frac{y}{10}$?

Това е условието. Замествам b и c с цифри от студентския ми номер, като b=0 и c=4 (това се прави за да може всеки да има различни задачи)

[Добромир Глухаров]

Е, значи имате страхотен късмет - задачата се опростява много.

$f(x,y,z)=z^{0.y}.y^{4x}=f(x,y)=y^{4x}$

$df(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

$\frac{\partial f}{\partial x}=4y^{4x}lny$

$\frac{\partial f}{\partial y}=4x.y^{4x-1}$

$\frac{\partial f}{\partial z}=0$

$df(x,y,z)=4y^{4x}lnydx+4x.y^{4x-1}dy+0.dz=df(x,y)=4y^{4x}lnydx+4x.y^{4x-1}dy$

[Гост]

Е, значи имате страхотен късмет - задачата се опростява много.

$f(x,y,z)=z^{0.y}.y^{4x}=f(x,y)=y^{4x}$

$df(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

$\frac{\partial f}{\partial x}=4y^{4x}lny$

$\frac{\partial f}{\partial y}=4x.y^{4x-1}$

$\frac{\partial f}{\partial z}=0$

$df(x,y,z)=4y^{4x}lnydx+4x.y^{4x-1}dy+0.dz=df(x,y)=4y^{4x}lnydx+4x.y^{4x-1}dy$

Много Ви благодаря!

[Гост]

Е, значи имате страхотен късмет - задачата се опростява много.

$f(x,y,z)=z^{0.y}.y^{4x}=f(x,y)=y^{4x}$

$df(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

$\frac{\partial f}{\partial x}=4y^{4x}lny$

$\frac{\partial f}{\partial y}=4x.y^{4x-1}$

$\frac{\partial f}{\partial z}=0$

$df(x,y,z)=4y^{4x}lnydx+4x.y^{4x-1}dy+0.dz=df(x,y)=4y^{4x}lnydx+4x.y^{4x-1}dy$

А може ли да ми обясните как се получават отговорите за x,y,z, ако Ви е удобно разбира се?

[Добромир Глухаров]

При диференциране относно $x$ имаме производна от показателна (експоненциална) функция: $(a^{u(x)})'_x=a^{u(x)}.lna.u'(x)$.
При диференциране относно $y$ имаме производна от степенна функция: $((u(y))^a)'_y=a.(u(y))^{a-1}.u'(y)$
И в двата случая се използва правилото за диференциране на съставна функция: $(u(v(x)))'_x=u'(v(x)).v'(x)$
И понеже функцията не зависи от $z$, частната производна относно $z$ е равна на $0$.