Задача на Алипи Алипиев

[anonimen1]

Предпочитам да остана анонимен. Да се докаже.

[Kre4etalo]

Възможен подход е да приведем интегралите на езика на гама и бета функциите. Макар това да са специални функции, необходими са ни основни техни свойства (доказващи се чрез не особено сложни манипулации в интегралите), а именно :
1) дефиниция на гама - $\Gamma(x):=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\text{d}t$;
2) рекурентно уравнение за гама - $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ (по части);
3) дефиниция на бета - $\text{B}(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\text{d}t$;
4) тригонометричен вид за бета - $\text{B}(x,y)=2\int_0^{\pi / 2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\text{d}\theta$ (в 3) правим смяна на променливите $t=(\sin\theta)^2$);
5) Връзка между гама и бета - $\text{B}(x,y)\Gamma(x+y)=\Gamma(x)\Gamma(y)$ (изразът отдясно се представя като двоен интеграл, в които се прави смяна на променливите, за да се достигне до лявата част).
Доказателства на 2) и 5) може да видите в страниците в Уикипедия на гама и бета.
Като използваме 4), първият интеграл е $I_1=\text{B}(3/4,1/2)/2$, а вторият - $I_2=\text{B}(1/4,1/2)/2$. Използвайки представянето на бета чрeз гама от 5), след съкращаване стигаме до $$I_1I_2=\frac{\pi}{4}\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(5/4)}.$$
Сега, като имаме предвид 2), виждаме, че $\Gamma(5/4)=\Gamma(1/4)/4$. Така получаваме $I_1I_2=\pi$.
С този подход можем да разгледаме и други подобни интеграли, например вместо корен квадратен да имаме друг корен.
Друг възможен подход, който обаче не ме доведе лесно до нещо съществено, е да напишем произведението като двоен интеграл върху квадрат, и после да се опитаме да разменяме синус с косинус (или аргумента като множител пред корена).

[Kre4etalo]

EDIT. Бях забравил най-нетривиалната формула - [tex]\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}[/tex]. $$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\text{d}x,$$ което след смяна на променливите $x=t^2$ се свежда до $2\int_0^\infty e^{-t^2}\text{d}t$ - известният Гаусов интеграл - пресмятане отново може да се намери в Уики.

[Гост]

кой е алипи алипиев?

[anonimen1]

http://mmib.math.bas.bg/wp-content/uplo ... Mateev.pdf

[Гост]

https://www.youtube.com/watch?v=gImHfFKkVG8