Непрекъснати функции

[Гост]

Здравейте! Някой може ли да ми обясни как се решава следната задача: условието е да се докаже, че е непрекъсната функцията. Тръгвам първо гледайки границата на функцията 3+х^2 когато х клони към 0 и получвам 3. После гледам границата на функцията sin3x/x, когато х клони към 0 и получавам за отговор 3. Следователно лявата и дясната граница са равни, т. е. функцията е непрекъсната? Бъркам ли някъде?

[Гост]

Да кажат умниците тука...

[Davids]

Абсолютно достатъчно е да се докаже, че и двата варианта на функцията нямат стойности на $x$ в дадения интервал, за които да са неопределени. А това е логично следствие от очевидното съждение, че $3 + x^2$ е диференцируема $\forall x$, а пък $\frac{sin3x}{x}$ е недефинирана само и единствено при $x = 0 \not \in (0; +\infty)$. С което доказателствата се изчерпват според мен

[pal702004]

Davids, за да е непрекъсната функцията в дадена точка, не е достатъчно да е определена. Трябва да съществуват лява и дясна граница, и те да са равни.

[anonimen1]

Ако граница или функция имат лява и дясна граница и те нe са равни, то функцията не е определена, а границата не съществува.

[anonimen1]

Ако границата не съществува, тя дивергира.

[Knowledge Greedy]

Ето пример.

Обща граница dash непрекъснатост.png (4.24 KiB) Прегледано 902 пъти

Това не е доказателство, а само една от безбройното много илюстрации, които могат да се дадат по

Davids, за да е непрекъсната функцията в дадена точка, не е достатъчно да е определена. Трябва да съществуват лява и дясна граница, и те да са равни.

[Genie_Almo]

Абсолютно достатъчно е да се докаже, че и двата варианта на функцията нямат стойности на $x$ в дадения интервал, за които да са неопределени. А това е логично следствие от очевидното съждение, че $3 + x^2$ е диференцируема $\forall x$, а пък $\frac{sin3x}{x}$ е недефинирана само и единствено при $x = 0 \not \in (0; +\infty)$. С което доказателствата се изчерпват според мен

Считам, че това доказателство е напълно коректно.

........

Корекция, отказвам се от това си мнение. Даже мисля, че открих и контрапример:

[tex]f(x) = \begin{cases} 1^x , x\le 0 \\ 0^x, x >0 \end{cases}[/tex]

[pal702004]

Прекъсната функция

Непрекъсната функция

трябва да съществува лява и дясна граница и те да са равни...