за изпит - интеграли и функции

[Гост]

Здрвейте, трябва ми решение с обяснение на следните теоритични задачи. Всяка помощ ще ми бъде полезна. Благодаря предварително.

50997998_1695991913835635_1495435448426692608_n.jpg (21.55 KiB) Прегледано 5519 пъти

[Sup3rlum]

Един голям дисклеймър. Хабих 2 часа и съм на границата да наритам нещо. Тези индивиди, отговорни за разпечатването на задачата, са възможните потърпевши. Някой май не си върши работата. Проверката на такива задачки кой я прави? За трета задача става въпрос, ето така трябва да бъде търсеният интерфейс:

$\int \frac{1}{(acosx+bsinx)^3} dx = \frac{Asinx+Bcosx}{(acosx+bsinx)^2} + C\int \frac{1}{acosx+bsinx}dx$

Някой забелязва ли разликата? Една миниатюрна двойчица в знаменaтeля, толкова безразборно изпусната. Ама аз нали съм инат и се пробвам усилено да свържа топологията на два нелинейно свързани израза в Desmos-а, и се чепкам по главата.

Така де....

Има няколко начина да се реши, но просто трябваше да си използвам любимата тригонометрична формула:
$acosx+bsinx = Qcos(x-\alpha)$
$acosx+bsinx = Qsin(x+\alpha)$

където:

[tex]Q=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]
[tex]\alpha=arctan(\frac{b}{a})[/tex]

Οт там следва (разменил съм константите за да имаме малко консистенция все пак):

[tex]\int \frac{1}{(acosx+bsinx)^3} dx = \int \frac{1}{Q^3cos^3(x-\alpha)} dx=
\frac{1}{Q^3}\int sec^3(x-\alpha) dx[/tex]

От тук лесно полагане:
[tex]u=x-\alpha[/tex]
[tex]du=dx[/tex]

Този интеграл го смятаме по части (препоръчвам DI Method 1000%)

[tex]\int sec^3(u)du = sec(u)tan(u) - \int sec^3(u)du + \int sec(u)du[/tex]
[tex]\int sec^3(u)du = \frac{1}{2}sec(u)tan(u) + \frac{1}{2}\int sec(u)du[/tex]
[tex]\frac{1}{Q^3}\int sec^3(u)du = \frac{1}{2Q^3}sec(u)tan(u) + \frac{1}{2Q^3} \int sec(u)du[/tex]

От тук изглежда доста познато, и като почнем да преобразуваме обратно:

[tex]\int \frac{1}{(acosx+bsinx)^3} dx = \frac{sec(u)tan(u)}{2Q^3}+\frac{1}{2Q^2} \int\frac{1}{acosx+bsinx}dx[/tex]

Οт тук става ясно че [tex]C=\frac{1}{2Q^2}=\frac{1}{2a^2+2b^2}[/tex]

Остава само да докажем че онова нещо в средата е тъждествено с дадения от задачата израз

[tex]\frac{sec(u)tan(u)}{2Q^3} = \frac{1}{(acosx+bsinx)^2}*\frac{sin(u)}{2Q}[/tex]

От тук имаме оригиналната формула само че наобратно.
[tex]\frac{1}{2Q}sin(x-\alpha)[/tex]
[tex]\frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2}}(sin(x)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(x))[/tex]

Знарм че [tex]\alpha = arctan(\frac{b}{a})[/tex]
[tex]tan(\alpha) = \frac{b}{a}[/tex]
$\Rightarrow sin(\alpha) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\Rightarrow cos(\alpha) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\Rightarrow = \frac{bcosx-asinx}{2a^2+2b^2}$

Заместваме абсолютно всичко и получаваме:

$\int \frac{1}{(acosx+bsinx)^3} dx = \frac{-asinx+bcosx}{2Q^2(acosx+bsinx)^2} + \frac{1}{2Q^2}\int \frac{1}{acosx+bsinx}dx$

От тук:
$C=\frac{1}{2a^2+2b^2}$
$A=\frac{b}{2a^2+2b^2}$
$B=\frac{-a}{2a^2+2b^2}$