Интересен интеграл

[Гост]

Трябва да се сметне интегралът [tex]\int\limits_{0}^{\frac{1}{3}}\frac{ln(1-8x)}{x}dx[/tex] с точност [tex]10^{-4}[/tex]

Аз развивам подинтегралната функция в степенен ред, след което получавам [tex]-\sum_{k=0}^{\infty }\frac{8^{k+1}}{3^{k+1}(k+1)^{2}}[/tex]
От тук нататък мисля, че трябва да се изчисли остатъчен член, който да е по-малък от [tex]10^{-4}[/tex], предполагам, но не знам как точно да подходя. Ще съм благодарен, ако ударите едно рамо

[Добромир Глухаров]

Правилно сте получили реда, но той е разходящ. Даденият интеграл може би също е разходящ, но във всеки случай не е реално число - подинтегралната функция приема стойност комплексно число за $x\in\left(\frac{1}{8};\frac{1}{3}\right)$ - натурален логаритъм от отрицателно число, разделен на реално число.

$z\in\mathbb{C}\Rightarrow ln(z)=ln(|z|e^{i.arg(z)})=ln|z|+i.arg(z)$

$z=-x;\ x\in\mathbb{R};\ x>0;\ \Rightarrow arg(z)=\pi\Rightarrow ln(-x)=lnx+i.\pi\in\mathbb{C}$

[Добромир Глухаров]

По-интересен би бил интегралът $\int_0^{\frac{1}{8}}\frac{ln(1-8x)}{x}dx=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8^{k+1}}{k+1}\frac{x^{k+1}}{k+1}|_0^{\frac{1}{8}}=$

$=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^2}=-\frac{\pi^2}{6}$

И изобщо $\int_0^{\frac{1}{p}}\frac{ln(1-px)}{x}dx=-\frac{\pi^2}{6}$

[Гост]

Много благодаря за помощта!