Да се докаже

[Davids]

Да се докаже, че ако $f(x)$ е четна функция, интегрируема в интервала $[-a; a]$, и $a, b \in R$, то:
[tex]\int\limits_{-a}^{a}\frac{f(x) + 1}{b^x + 1}dx = a + \int\limits_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

[Sup3rlum]

Да се докаже, че ако $f(x)$ е четна функция, интегрируема в интервала $[-a; a]$, и $a, b \in R$, то:
[tex]\int\limits_{-a}^{a}\frac{f(x) + 1}{b^x + 1}dx = a + \int\limits_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

Директно разделяме интеграла на две:

$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)+1}{b^x+1}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{b^x+1}dx+\int_{-a}^{a}\frac{1}{b^x+1}dx$

Ако разгледаме най-дясната част, тривиално се доказва, че: $\frac{1}{b^x+1}-\frac{1}{2}$ е нечетна функция $\Rightarrow$
$\int_{-a}^{a}\frac{1}{b^x+1}-\frac{1}{2}dx=0$
$\int_{-a}^{a}\frac{1}{b^x+1}dx=\int_{-a}^{a}\frac{1}{2}dx=a$

Сега разглеждаме $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{b^x+1}dx$:

Знаем че $\frac{1}{b^x+1}-\frac{1}{2}$ е нечетна функция и, че произведение на четна и нечетна е нечетна $\Rightarrow$

$\int_{-a}^{a} f(x)(\frac{1}{b^x+1}-\frac{1}{2})dx = 0$
$\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{b^x+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}f(x)$ И тъй като по условие $f(x)$ е четна $\Rightarrow = \int_{0}^a f(x)dx$

Заместваме и получаваме отговора.

П.С

Реших да дам малко тривиа - функцията $\sigma(x)=\frac{1}{e^{-x}+1} $ e така наречента "Сигмоид" функция която се използва в изкуствените невронни мрежи. Най-отличителнaта й характеристика е, че производната й $\sigma'(x) = \sigma(x)(1-\sigma(x))$.
Нейните близки от формата $\frac{1}{e^{ax}+1}$ също имат подобни свойства, едното от тях е че са симетрични, пресичат $y$ в $x=\frac{1}{2}$ и са по ИТ жаргон "Нормализиращи" т.е. $\sigma(x) : R \rightarrow (0;1)$. Те са много близки до $b*tanh(ax)$ който е просто разтегната версия и покрива интервала $(-1:1)$ и също така е нечетна функция.