Златен интеграл

[Sup3rlum]

$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}dx = ?$

Където $\varphi$ е златното сечение $1.618...$

[Петър Евгениев]

Не съм писал

[Sup3rlum]

Решението не е мое, а на Dr. Peyam който има канал в ютуб (както правилно беше споменал Петър Евгениев)
цък

Да се намери точна анти-производна, на дадената функция, с нормалните техники изглежда непосилно. Затова Dr.Peyam ни казва, че ако се пробваме да "guess"-нем анти-производната, можем да успеем. Той предлага следната функция:

$F(x)=x(1+x^\varphi)^{1-\varphi}$

Ако производната е същата като функцията като тази под интеграла, значи сме намерили анти-производната (Fundamental Theorem of Calculus)

$F'(x)=(1+x^\varphi)^{1-\varphi}+x\varphi x^{\varphi-1}(1-\varphi)(1+x^\varphi)^{-\varphi}$
Факторизираме:
$F'(x)=(1+x^\varphi)^{-\varphi}(1+x^\varphi+x(1-\varphi)\varphi x^{\varphi-1}))$
$F'(x)=(1+x^\varphi)^{-\varphi}(1+x^\varphi(1+\varphi-\varphi^2))$

Знаем че едно от свойствата на $\varphi => \varphi^2=\varphi+1$
$\Rightarrow F('x)=(1+x^\varphi)^{-\varphi}=f(x)$

Това е което търсим.

От тук имаме анти-прозводната и слагаме числата:

$\left[x(1+x^\varphi)^{1-\varphi}\right]_0^\infty$

Тъй като имаме неправилен интеграл, взимаме лимита $a\rightarrow^+\infty$

$\lim_{a \to ^+\infty}\left[x(1+x^\varphi)^{1-\varphi}\right]_0^a$
$\lim_{a \to ^+\infty} a(1+a^\varphi)^{1-\varphi}$

$\lim_{a \to ^+\infty} \frac{a}{(1+a^\varphi)^{\varphi-1}}$

Тук е много изкушаващо да използваме Лопитал, защото в знаменателя имаме $x$ но ако се пробваме става абсолютна каша.

Можем обаче да изкараме най-високата степен от знаменателя:

$\lim_{a \to ^+\infty} \frac{a}{(a^\varphi(a^{-\varphi}+1))^{\varphi-1}} = \lim_{a \to ^+\infty} \frac{a}{a^{\varphi(\varphi-1)}(a^{-\varphi}+1)^{\varphi-1}}$

От тук разглеждаме $a^{\varphi(\varphi-1)} = a^{\varphi^2-\varphi}$, обаче както разгледахме по-рано $\varphi^2=\varphi+1$
$\Rightarrow a^{\varphi^2-\varphi}=a^1=a$. От там:

$\lim_{a \to ^+\infty} \frac{a}{a(a^{-\varphi}+1)^{\varphi-1}}=\lim_{a \to ^+\infty} \frac{1}{(a^{-\varphi}+1)^{\varphi-1}}$

От там виждаме че $a^\varphi \rightarrow 0$
$\boxed{ \Rightarrow\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}dx = \frac{1}{1^{\varphi-1}}=1}$

Красота

[Davids]

$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}dx = ?$

Където $\varphi$ е златното сечение $1.618...$

Да предложа и алтернативен подход (освен налучкване) за намиране на неопределения интеграл. Идеята за субституцията е от коментар под същото клипче, но не беше развита напълно, та се заиграх

$I = \int \frac{1}{(1 + x^{\varphi})^{\varphi}}dx = \int \frac{1}{(x^{\varphi}(1 + x^{-\varphi}))^{\varphi}}dx = \int \frac{1}{x^{\varphi ^2}(1 + x^{-\varphi})^{\varphi}}dx = \int \frac{x^{-\varphi ^2}}{(1 + x^{-\varphi})^{\varphi}}dx = \int \frac{x^{-\varphi - 1}}{(1 + x^{-\varphi})^{\varphi}}dx$

Полагаме $t = x^{-\varphi} $
$\Rightarrow x = t^{-\frac{1}{\varphi}}$
$\Rightarrow x^{-\varphi - 1} = t.t^{\frac{1}{\varphi}} = t^{\frac{\varphi + 1}{\varphi}} = t^{\varphi}$
$\Rightarrow dx = -\frac{1}{\varphi}t^{-\frac{1}{\varphi} - 1} = -\frac{1}{\varphi}.t^{-\varphi}$

Взимайки всичко това предвид, достигаме до:
$I = \int \frac{\cancel{t^{\varphi}}}{(t + 1)^{\varphi}}.(-\frac{1}{\varphi}).\cancel{t^{-\varphi}}dt = -\frac{1}{\varphi}\int (t + 1)^{-\varphi} = (t + 1)^{1 - \varphi}$
$\Rightarrow I = -\frac{1}{\varphi}.\frac{1}{1 - \varphi}(t + 1)^{1 - \varphi}$


$\Rightarrow \boxed{\int \frac{1}{(1 + x^{\varphi})^{\varphi}}dx = (x^{-\varphi} + 1)^{1 - \varphi}} + C$

Респективно като му сложим границите, резултатите си излизат