Права пресичаща кубично у-ние

[Sup3rlum]

Тази задача ми я бяха дали миналат година. И ми отне към 30-тина минути да измисля решение.
Превод от английски:

Даден е вдлъбнат полином от трета степен $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. През точка на $f(x)$, която е на същата височина като локалния максимум, минава права, която пресича функцията на още две места - точки $Q$ и $P$. Да се докаже, че $x$ координатата на локалния максимум е точно по средата между $Q_x$ и $P_x$.

[Knowledge Greedy]

Въвеждаме означения според условието
Даден е вдлъбнат полином от трета степен [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex].
Лема 1. Всеки полином от трета степен може да бъде представен във вида [tex]f(x)=a F(x)[/tex],
където [tex]F(x)=x^3-3px^2+q[/tex]

Полиномът [tex]F(x)[/tex] е вдлъбнат в областта, подчинена на условието
[tex]F''(x)=6x-6p<0[/tex]
т.е. в интервала [tex](-\infty;p)[/tex]
Б.о.о. (без ограничение на общността) ще считаме, че [tex]p>0[/tex].

Хорди в графика на кубична функция.png (12.1 KiB) Прегледано 691 пъти

Точката на локалния максимум [tex]V(0;q)[/tex] е в областта на вдлъбнатост.
Това означава
[tex]\begin{array}{|l} F(0)=q \\ F'(0)= 0 \\ F''(0)=-6p<0 \end{array}[/tex]

Нека [tex]M(m;F(m)=f(0)=q)[/tex] и [tex]m \ne 0[/tex], е точка от графиката, с височина като на локалния максимум .
(Имаме едно наум, че тази точка не е в областта на вдлъбнатост на функцията!)

Обръщаме внимание на алгебричния запис на горното.
[tex]m^3-3pm^2+q=q[/tex]
Тъй като [tex]m\ne 0[/tex], следва [tex]m=3p[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]( \ast)[/tex]

Права [tex]g: y=k(x-m)+q)[/tex] Минава през точката [tex]M(m;q)[/tex],
[tex]g[/tex] пресича графиката на дадената функция на още две места - в точки [tex]Q(n;F(n))[/tex] и [tex]P(t;F(t))[/tex], т.е. техните координати удовлетворяват горното уравнение (- респективно системата) [tex]\begin{array}{|l} F(n) = k(n-m)+q \\ F(t)=k(t-m)+q \end{array}[/tex]

Да открием пресечните точки на правата [tex]g[/tex] с кубичната крива. За целта решаваме системата.
[tex]\begin{array}{|l} y = F(x) \\ y=k(x-m)+q) \end{array}[/tex]
Води до уравнението
[tex]x^3-3px^2+q=k(x-m)+q[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \,\ x^3-3px^2=k(x-m)[/tex]
Не забравяме [tex](\ast)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \,\ x^3-3px^2=k(x-3p)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \,\ (x-3p)(x^2-3p)=0[/tex]
Забелязваме, че освен очакваната точка [tex]x=3p[/tex], открихме още две [tex]х_{Q}=-\sqrt{3p}[/tex] и [tex]х_{P}=\sqrt{3p}[/tex]
Явно [tex]x_{V}[/tex] e по средата - между [tex]х_{Q}[/tex] и [tex]х_{P}[/tex]

В заключение за пълнота трябва да докажем и
Лема 2 Преобразуването [tex]f(x)=a F(x)[/tex] запазва средата на всяка хорда на полинома от трета степен [tex]y=F(x)[/tex].

[Sup3rlum]

...

Интересно !

Това решение е от онези, които са както ги наричам "formal", "sequential", "ordered". Това е както трябва да бъде решено. Но аз винаги съм харесвал онези решения, които са по тарикатливи.

Ето моя тейк:

Започваме с на пръв поглед интуитивната идея, че линейните трансформации не променят геометрията и топологията на една крива:

$g(x)=f(x+h)+j, g'(x)=f'(x+h)$ Идеята е ясна, супер тривиална, но има доста фундаментално приложение.

Нека започнем със $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ и линия с формула $h(x)=mx+c$. И тук е схватката - тъй като точката през която минава правата е на същата хоризонтална линия, като максимума, преместваме кривата, така че и двете да са на $y=0$, а за да се оттървем от $c$, преместваме графата таке че тази точка е $(0,0)$:

Screenshot_15.png (17.14 KiB) Прегледано 666 пъти

Тази трансформация, придава едни много интересни свойства на кривата:
1.Има двоен корен
2.Има корен нула
3.Точката която ни интересува се превръща в $(0;0)$
От тези свойства уравнението придобива формата $px(px^2+2pqx+pq^2)$ където $p,q > 0$

Линията ни минава през $(0;0) \Rightarrow$ трансформираната ни функция придобива формата j(x)=mx.

Локалният ни максимум всъщност е двойният корен, който не е нула
$\boxed{\Rightarrow px^2+2pqx+pq^2=0 \Rightarrow x^2+2qx+q^2=0 \Rightarrow (x+q)^2=0 \Rightarrow x_{2,3}=-q}$
С координати $\boxed{\Rightarrow (-q, 0)}$.

За пресечните точки $\Rightarrow px(px^2+2pqx+pq^2) = mx$ Получаваме едната тривиална точка: (0,0). Останалите две:
$\Rightarrow x^2+2qx+q^2-\frac{m}{p^2}=0$

$x$ координатите на двете точки са решенията на квадратното:

$P_x,Q_x = \frac{-2q \pm \sqrt{.....}}{2}$ Тук даже не съм и включил дискриминантата, защото когато съберем двата корена, тя изчезва:

$\boxed{\frac{P_x+Q_x}{2} = \frac{-2q + \sqrt{.....}}{2} + \frac{-2q- \sqrt{.....}}{2} = \frac{-2q}{2} = -q}$

$\therefore$ Линията която е между $P$ и $Q$ е линията която минава през максимума.
Имаме относителна зависимост, а не абсолютна, т.е. линейните трансформации, не променят зависимостта.
$QED$

[KOPMOPAH]

... Това решение е от онези, които са както ги наричам "formal", "sequential", "ordered"....

...Ето моя тейк:...

Решението е много добро! Браво за страхотната идея с преместването в точката $(0;0)$

Скрит текст: покажи

Употребата на чуждици, обаче, не е проява на добър вкус. От останалото написано личи една доста добра, бих казал неочаквана за съвремието грамотност (запетаите не ги слагам в сметката) . Фактът, че този форум е с математическа насоченост, не ни освобождава от подразбиращото се (и приятно) задължение да пишем на книжовен български език, поне според възможностите си. Иначе става Proud da sym bylgarin!

[Гост]

Много далновидно КОРМОРАН е "скрил" част от текста си, за да не "лъсне" граматическата грешка от предпоследното му изречение: "...поне според възможностите си". Разбира се, правилното местоимение е ни. Минидискурс на тази тема има в раздел "Матрици, Алгебра":
https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=63&t=22249

[KOPMOPAH]

Много далновидно Гост се е "скрил" зад анонимността си (не "му"), тъй като "лъсва" липсата му на познания относно местоименията, били те притежателни или възвратно-притежателни. Не става достатъчно ясно защо правилното местоимение е "ни" от посочения минидискурс.
Кратък курс по възвратно-притежателни местоимения for Dummies: когато подлогът е в първо или второ лице (ед. или мн. ч.) пълните форми на възвратно-притежателното и на „обикновеното“ притежателно местоимение са равностойни, напр. Харесвам своите приятели и Харесвам моите приятели, Направи ли своя чертеж? и Направи ли твоя чертеж?, Проверявате ли своите съобщения за грешки? и Проверявате ли вашите съобщения за грешки?. При кратките местоименни форми, обаче, няма възможност за избор, тъй като книжовни са само формите на възвратно-притежателното местоимение: Ще пренапиша задачата си (а не задачата ми), Реши подусловието си (а не подусловието ти), Ние ходихме там с децата си (а не с децата ни).

Скрит текст: покажи

Ще пишем грамотно според възможностите си (а не ни)

Особено приятно впечатление прави фактът, че добри решения като горните са написани грамотно и оформени естетически.

[Гост]

КОРМОРАН, изпускаш тънкия момент-предлога "според", който изцяло променя играта. Как е правилно да се каже: "Според компаса ни, намираме се..." или "Според компаса си, намираме се..."?

[Гост]

Понеже "Задачата на седмицата" е от същия подател, ще подхвърля само, че правата линия е просто права и тя е безкрайна, поради което задачата, така зададена, няма смисъл. Тя щеше да има смисъл, ако ставаше дума за отсечка и се търсеше какъв е шансът да се построи триъгълник.

Скрит текст: покажи

https://www.youtube.com/watch?v=xFS4xpYQ82w