Непрекъснатост на функция.

[Петър Евгениев]

Честита Баба Марта първо. Живи и здрави бъдете!
Към въпроса: Значи по дефиницията дадена в учебника една функция [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в
[tex]x=a\in D \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x)=f(a)[/tex]
А как се доказва, че дадена фунцкия е непрекъсната в множесто [tex]M[/tex].
Или например функцията [tex]f(x)=\begin{cases} x^{2} & 0\le x < 1 \\ x & 1\le x <2 \end{cases}[/tex]
е дефинирана в [tex]D:[0;2)[/tex]. Как става доказателството за целият интервал?

[Davids]

И двете подфункции са диференцируеми в дадените подинтервали, което е достатъчно условие за тяхната непрекъснатост. Остава да се докаже, че и двете клонят към една и съща стойност при $x \to 1$.
$\lim_{x \to 1^-}x^2 = 1 = \lim_{x \to 1^+} x$
Следователно и $x = 1$ не е точка на прекъсване и функцията е непрекъсната в целия интервал $[0; 2)$. Ако не изпускам нещо...

[Sup3rlum]

Честита Баба Марта първо. Живи и здрави бъдете!
Към въпроса: Значи по дефиницията дадена в учебника една функция [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в
[tex]x=a\in D \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x)=f(a)[/tex]
А как се доказва, че дадена фунцкия е непрекъсната в множесто [tex]M[/tex].
Или например функцията [tex]f(x)=\begin{cases} x^{2} & 0\le x < 1 \\ x & 1\le x <2 \end{cases}[/tex]
е дефинирана в [tex]D:[0;2)[/tex]. Как става доказателството за целият интервал?

Добре, искаме да докажем, че $f(x)=\begin{cases} x^{2} & 0\le x < 1 \\ x & 1\le x <2 \end{cases}$, е непрекъсната в целия интервал $[0;2)$.

Не помня точно колко бяха нужните условия, но нека да използваме всичките:
1.Двата подинтервала са дефинирани
2.Няма изолирана сингулярност
3.Границата $x \to 1 = 1$ съществува, т.е. по епсилон делта дефиницията, границата дава една и съща стойност когато се приближим до 1 и от двете посоки.

Така да разгледаме 3-те случая:
1.Да, функциите са ясно дефинирани в двата принадлежащи подинтервала $\Leftrightarrow$ аналитични
2.Нямаме асимптоти на крайни стойност за $x$ в $[0,2)$, само към $^+\infty$ и $^-\infty$, но тъй като не са част от интервала не ни касаят.
3.Горните две точки са супер ясни, но тази се поражда от дефиницията за граница.
Тъй като $f(x)=x$ включва $1$ в своя подинтервал няма нужда от пресмятане на границата, т.е. $\lim_{x \to ^+1}f(x)=1$ по дефиниция.
Сега за границата от другата посока $\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-}x^2$

Епсилон Делта доказателството гласи, че:
За всяко $\varepsilon >0$ има $\delta > 0 $ така че $\forall x$ ако $|x-1|<\delta$ значи и $|x^2-1|<\varepsilon$

Задавaме условието, че $\delta = f(\varepsilon), \delta \ne g(x)$.

Разглеждаме: $|x^2-1|<\varepsilon \Rightarrow |x-1||x+1|<\varepsilon \Rightarrow |x-1|<\frac{\varepsilon}{|x+1|}$
Но знаем че делта не зависи от епсилон, трябва да разгледаме стойности близки до делта които не зависят от епсилон.
За много близки стойности до 1, предполагаме, че $|x-1|<1$

$\Rightarrow -1<x-1<1$
$\Rightarrow 0<x<2$
$\Rightarrow 1<x+1<3$
$\Rightarrow \frac{1}{3}<\frac{1}{|x+1|}<1$
$\Rightarrow \frac{\varepsilon}{3}<\frac{\varepsilon}{|x+1|}<\varepsilon$, от тук следователно избираме по-малката стойност за делта:
$\delta = min\bigg(1, \frac{\varepsilon}{3}\bigg)$

Но знаем, че $|x-1| < \delta \Rightarrow$
$|x+1|<3$
$|x-1|<1 $
$|x-1|<\frac{\varepsilon}{3}$

$\Rightarrow |x^2-1|=|x-1||x+1|<\frac{\varepsilon}{3}*3 = \varepsilon$
$\boxed{\Rightarrow |x^2-1|< \varepsilon}$

Това ни показва, че лимитът съществува за $x \to 1^-$. Дори и стойността му да не принадлежи към интервала, стойността е 1, което е точно долната включителна граница на следващия интервал. Това ни казва че границата за тази частична функция съществува от двете посоки и има една и съща стойност, което означава, че е непрекъсната.