Математически анализ задача 4 - граници

[Гост]

Здравейте, колеги Имам проблем с няколко задачи, които ми останаха да реша от курсовата ми работа, а след многократни опити все още не ми съвпадат отговорите и не ми се получават решенията...
Ще съм ви много благодарна ако им ударите по едно око и помогнете на една студентка отдолу ще прикача снимки на самите задачи и подточките, които не съм могла да реша (ако не разберете нищо от опитите ми да разпиша условията на задачите по-долу, защото със степените става сложно).
Моля не ме нападайте, че искам да ми решите задачите, просто търся компетентно мнение, защото част от задачите не можахме да ги вземем нито на лекция, нито на упражнения.
Сърдечно ви благодаря предварително и ви пожелавам лек и ползотворен ден



Зад 4. Да се пресметнат границите
в) lim ln(1-х)+tg (\p x/2) / cotg\pi x
отг : -2

[Davids]

[tex]\lim_{x \to 1-}\frac{ln(1-x) + tg\frac{\pi x}{2}}{cotg\pi x}[/tex]

Ще означим израза вътре с $A$ и ще ползваме формулата за тангенс от половинка ъгъл:
$\Rightarrow A = \frac{ln(1-x) + \frac{1 - cos\pi x}{sin\pi x}}{cotg\pi x} = \frac{ln(1-x) + \frac{1}{sin\pi x} - cotg\pi x}{cotg\pi x} = \frac{sin\pi x.ln(1-x) + 1}{sin\pi x.cotg\pi x} - 1 = \frac{sin\pi x.ln(1-x) + 1}{cos\pi x} - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to 1-}A = \lim_{x \to 1-}(\frac{sin\pi x.ln(1-x)}{cos\pi x}) + \lim_{x \to 1-}(\frac{1}{cos\pi x}) - 1 = \lim_{x \to 1-}(tg\pi x.ln(1-x)) - 2$

Остана да докажем, че $\lim_{x \to 1-}(tg\pi x.ln(1-x)) = 0$. Ще допиша после, че бързам сега

[Sup3rlum]

Screenshot_3.png (15.88 KiB) Прегледано 567 пъти

Само трябва да знаеш L'Hospital и адативността на границите за този. И някоя друга тригонометрична формула

$\lim_{x \to 1^-}\frac{ln(1-x)+tan(\frac{\pi x}{2})}{cot(\pi x)}$

$\lim_{x \to 1^-}\frac{ln(1-x)}{cot(\pi x)}+\lim_{x \to 1^-}\frac{tan(\frac{\pi x}{2})}{cot(\pi x)}$

Първата част:

$ A = \lim_{x \to 1^-}\frac{ln(1-x)}{cot(\pi x)} = \lim_{x \to 1^-}\frac{\frac{1}{x-1}}{-\pi csc^2(\pi x)} = \lim_{x \to 1^-}\frac{sin^2(\pi x)}{\pi(1-x)}$

$ \boxed{A= \lim_{x \to 1^-}\frac{\pi sin(2\pi x)}{-\pi}=-sin(2\pi)=0}$

Втората част:

$B =\lim_{x \to 1^-}\frac{tan(\frac{\pi x}{2})}{cot(\pi x)}=\lim_{x \to 1^-}\frac{\frac{\pi}{2}sec^2(\frac{\pi x}{2})}{-\pi csc^2(\pi x)} = \lim_{x \to 1^-}-\frac{sec^2(\frac{\pi x}{2})}{2csc^2(\pi x)}$

$=-\frac{1}{2}\lim_{x \to 1^-}\frac{sin^2(\pi x)}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}=-\frac{1}{2}\lim_{x \to 1^-}\frac{4sin^2(\frac{\pi x}{2})cos^2(\frac{\pi x}{2})}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}$
$\boxed{B=-2sin^2(\frac{\pi}{2})=-2}$

Накрая:

$\boxed{A+B = -2}$

[Davids]

[tex]\lim_{x \to 1-}\frac{ln(1-x) + tg\frac{\pi x}{2}}{cotg\pi x}[/tex]

Ще означим израза вътре с $A$ и ще ползваме формулата за тангенс от половинка ъгъл:
$\Rightarrow A = \frac{ln(1-x) + \frac{1 - cos\pi x}{sin\pi x}}{cotg\pi x} = \frac{ln(1-x) + \frac{1}{sin\pi x} - cotg\pi x}{cotg\pi x} = \frac{sin\pi x.ln(1-x) + 1}{sin\pi x.cotg\pi x} - 1 = \frac{sin\pi x.ln(1-x) + 1}{cos\pi x} - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to 1-}A = \lim_{x \to 1-}(\frac{sin\pi x.ln(1-x)}{cos\pi x}) + \lim_{x \to 1-}(\frac{1}{cos\pi x}) - 1 = \lim_{x \to 1-}(tg\pi x.ln(1-x)) - 2$

Остана да докажем, че $\lim_{x \to 1-}(tg\pi x.ln(1-x)) = 0$. Ще допиша после, че бързам сега

Да довърша и аз
Представяме $\lim_{x \to 1-}(tg\pi x.ln(1-x))$ като $\lim_{x \to 1-}(\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{tg\pi x}})$ и понеже имаме неопределеност от вида $\frac{-\infty}{0}$, можем да приложим Лопитал и получаваме:
$\lim_{x \to 1-}\frac{-\frac{1}{1-x}}{-\frac{1}{tg^2\pi x}.\frac{1}{cos^2\pi x}.\pi} = \lim_{x \to 1-}\frac{tg^2\pi x.cos^2\pi x}{\pi(1 - x)} = \lim_{x \to 1-}\frac{sin^2\pi x}{\pi(1 - x)}$

Отново имаме неопределеност от вида $\frac{0}{0}$, прилагаме отново Лопитал:
$\lim_{x \to 1-}\frac{sin^2\pi x}{\pi(1 - x)} = \lim_{x \to 1-}\frac{2sin\pi x.cos\pi x.\pi}{-\pi} = \lim_{x \to 1-}-sin2\pi x = sin2\pi = 0$

С което сме готови