Математически анализ задача 5- неопределен интеграл

[Гост]

Здравейте, колеги Имам проблем с няколко задачи, които ми останаха да реша от курсовата ми работа, а след многократни опити все още не ми съвпадат отговорите и не ми се получават решенията...
Ще съм ви много благодарна ако им ударите по едно око и помогнете на една студентка отдолу ще прикача снимки на самите задачи и подточките, които не съм могла да реша (ако не разберете нищо от опитите ми да разпиша условията на задачите по-долу, защото със степените става сложно).
Моля не ме нападайте, че искам да ми решите задачите, просто търся компетентно мнение, защото част от задачите не можахме да ги вземем нито на лекция, нито на упражнения.
Сърдечно ви благодаря предварително и ви пожелавам лек и ползотворен ден

Зад 5.Да се пресметне
\int 1 / 4x^{2} +4х+10 dx
отг : 1/6 arctg 2x+1/3 + C

[Sup3rlum]

Защото помоли любезно

За този интеграл специално трябва да знаеш две техники:
1) По-лесно се работи с определени форми
2) Търсената форма на функцията тук е $\int\frac{1}{\omega^2+a^2}d\omega=\frac{1}{a}arctan(\frac{\omega}{a})$
Това е едно свойство което просто трябва да запомниш, и е много полезно защото можеш да решиш много интеграли по този начин.

Твоята задача:

$\int\frac{1}{4x^2+4x+10}dx=\int\frac{1}{(2x+1)^2+9}dx$

Тук просто събрахме квадратния тричлен във формата която търсихме. Заместването и наум можем да го направим но все пак ще го напиша -
нека $u=2x+1$
$du=2dx$
$\frac{1}{2}du=dx$

интеграла става:

$\int\frac{1}{u^2+3^2}\frac{1}{2}du = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}arctan\bigg(\frac{u}{3}\bigg)+C$

И накрая трябва да заместим $u$ с $x$

$\boxed{\frac{1}{6}arctan\bigg(\frac{2x+1}{3}\bigg)+C}$