Математически анализ задача 7 - интеграл

[Гост]

Здравейте, колеги Имам проблем с няколко задачи, които ми останаха да реша от курсовата ми работа, а след многократни опити все още не ми съвпадат отговорите и не ми се получават решенията...
Ще съм ви много благодарна ако им ударите по едно око и помогнете на една студентка отдолу ще прикача снимки на самите задачи и подточките, които не съм могла да реша (ако не разберете нищо от опитите ми да разпиша условията на задачите по-долу, защото със степените става сложно).
Моля не ме нападайте, че искам да ми решите задачите, просто търся компетентно мнение, защото част от задачите не можахме да ги вземем нито на лекция, нито на упражнения.
Сърдечно ви благодаря предварително и ви пожелавам лек и ползотворен ден

Зад 7.Да се пресметне
\int\limits_{0}^{\sqrt{3}} xarctg xdx
отг: 2\pi/2- \sqrt{3}/2

[Sup3rlum]

$\int_0^{\sqrt{3}} xarctan(x)dx$ За този интеграл трябва да използваме интегриране по части. Аз винаги предпочитам да използвам DI method

____D_____________ I
+ $arctanx $_________$ x$
- $\frac{1}{1+x^2}$ _________$\frac{x^2}{2}$


$\int_0^{\sqrt{3}} xarctan(x)dx = \frac{x^2}{2}arctan(x)\bigg|_0^{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2}{1+x^2}dx$

Първата част става $\frac{3}{2}arctan(\sqrt{3})=\frac{3}{2}.\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$
За интеграла от втората част, ще добавим и премахнем 1 от числителя. Това няма да промени стойността, просто ще помогне да го разделим на две решими части:

$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2+1-1}{1+x^2}dx=$
$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2+1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}dx=$
$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}}1-\frac{1}{1+x^2}dx$
$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\bigg(x-\arctan(x)\bigg)_0^{\sqrt{3}}=$
$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3})=$
$\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}=$
$\boxed{=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

[Davids]

в) [tex]\int\limits_{1}^{e}(1 + lnx)^2dx = I[/tex]

Полагаме $u = 1 + lnx \Rightarrow x = e^{u - 1}$
$\Rightarrow du = [lnx]'dx = \frac{dx}{x} \Rightarrow dx = xdu = e^{u - 1}du$.

Долната граница става $a = 1 + ln1 = 1$, а горната: $b = 1 + lne = 2$. Следователно определеният интеграл става еквивалентен на:
$I = \int\limits_{1}^{2}u^2.e^{u - 1}du = \frac{1}{e} \int\limits_{1}^{2}u^2.e^udu $

Прилагаме интеграция по части с $DI$ метода:
___D_____________I
+ $u^2$____________$e^u$
- $2u$____________$e^u$
+ $2$_____________$e^u$
- $0$_____________$e^u$

$\Rightarrow I = \frac{1}{e}\big(e^u.u^2 - 2ue^u + 2e^u \big)\bigg|_1^2 = \frac{1}{e}\big[e^2(4 - 4 + 2) - e(1 - 2 + 2) \big] = \frac{1}{e}(2e^2 - e) = 2e - 1$

[Davids]

[tex]I = \int\limits_{0}^{\frac{1}{4}}arccos4dx[/tex]
Полагаме $u = arccos4x \Rightarrow 4x = cosu$
$\Rightarrow du = -\frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}dx \Rightarrow dx = -\frac{1}{4}\sqrt{1 - cos^2u}du = -\frac{1}{4}sinudu$

Границите стават $a = arccos4.0 = arccos0 = \frac{\pi}{2}$, $b = arccos4.\frac{1}{4} = arccos1 = 0$

$\Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}u.(-\frac{1}{4}sinu)du = -\frac{1}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}u.sinudu$

Интегрираме по части отново:
__$D$________$I$
+ $u$______$sinu$
- $1$______$-cosu$
+ $0$______$-sinu$

$\Rightarrow I = -\frac{1}{4}\big(-ucosu + sinu \big)\bigg|^0_{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4}[0 - 1] = \frac{1}{4}$

[Davids]

[tex]I = \int\limits_{-\pi}^{\pi}xsinxcosxdx = \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}xsin2xdx[/tex]

__$D$______$I$
+ $x$____$sin2x$
- $1$____$-\frac{1}{2}cos2x$
+ $0$____$-\frac{1}{4}sin2x$

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}xcos2x + \frac{1}{4}sin2x)\bigg|_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$