Ако f е непрекъсната, то...

[asdf]

Да се докаже, че ако f е непрекъсната в/у [a,b] и [tex]f(x) \ge 0[/tex] за всяко х от [a,b] и [tex]\int_{a}^{ b} f(x) dx = 0[/tex], то f(x) =0 в/у [a,b] Не е като да нямам идея, но нещо не се получава номера.

[Flame]

Да се докаже, че ако f е непрекъсната в/у [a,b] и [tex]f(x) \ge 0[/tex] за всяко х от [a,b] и [tex]\int_{a}^{ b} f(x) dx = 0[/tex], то f(x) =0 в/у [a,b] Не е като да нямам идея, но нещо не се получава номера.

Супер е просто. Допускаме, чe [tex]f(x)>0[/tex]-строго, [tex]a \ne b[/tex], от геометричния смисъл на определения интеграл излиза, че [tex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx= F(b)-F(a)\ne0[/tex], При това [tex]I>0[/tex], защото лицето е винаги с положителна стойност.
За да е [tex]I=0[/tex], е необходимo в целия интервал [tex][a,b], f(x)=0[/tex]. Само тогава и единствено тогава при зададените изходни условия:
[tex]I=\int_{a}^{b }0.dx=0.(b-a)=0.[/tex]

[seppen]

А така става ли?
По опр. [tex]\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{d \to 0} \sum_{i=1}^{n} f\(\xi_{i}\)\Delta x_i[/tex]

[tex]\Delta x_i >0[/tex]
1. [tex]f(\xi _{i})>0[/tex] - имаме само положителни събираеми [tex]\Rightarrow \lim_{d \to 0}... >0[/tex]
2. [tex]f(\xi _{i})=0[/tex] [tex]\Rightarrow \lim_{d \to 0} \sum_{i=1}^n 0\Delta x_i = 0[/tex]
И от произволността на точката [tex]\xi_{i} \in [x_{i-1};x_{i}] \Rightarrow f(x)=0[/tex]

[allier]

И двете решения са интуитивно верни, но не са правилни ... Т.е. не са решения.

[asdf]

И двете решения са интуитивно верни, но не са правилни ... Т.е. не са решения.

Защо?

[Flame]

И двете решения са интуитивно верни, но не са правилни ... Т.е. не са решения.

Е, чакаме да ни научиш на верни решения...

[Baronov]

allier е прав, макар и интуитивни решенията са много далеч от верни.

Нека [tex]f(x_0) = d > 0[/tex] за някое [tex]x_0[/tex]. Тогава съществува интервал I с дължина c около [tex]x_0[/tex], със свойството, че [tex]f(x) > \frac{d}{2}[/tex] за х в този интервал (тук използваме непрекъснатостта на f). Имаме:
[tex]\int_{a}^{b} f(x) dx \geq \int_{I} f(x) dx > \frac{cd}{2} > 0[/tex] (за първото неравенство използваме неотрицателността на f). Последното е противоречие, което показва, че f=0.

Вярно е и по-общо твърдение без предположение за непрекъснатост. Ако f е неотрицателна и има (Лебегов) интеграл 0, то f(x)=0 почти навсякъде.

[Baronov]

И двете решения са интуитивно верни, но не са правилни ... Т.е. не са решения.

Защо?

Най-малкото защото никъде не използват непрекъснатостта на f, което е съществено (вземи си функция, която е 0 навсякъде освен в една точка).

Решението на seppen пропуска дребния, но важен факт, че редица от положителни числа може да клони към 0. Супер простото "решение" на Flame е пълна глупост.

[seppen]

важен факт, че редица от положителни числа може да клони към 0

И сума на редица от положителни числа ли? Би ли дал пример?
Благодаря. :]

[Baronov]

важен факт, че редица от положителни числа може да клони към 0

И сума на редица от положителни числа ли? Би ли дал пример?
Благодаря. :]

[tex]\frac{1}{n}[/tex]. Сумирай си колкото искаш и пак ще 0 границата. Ако искаш друг пример вземи функция, която е 0 освен в краен (или даже изброим) брой точки и образувай римановите суми, както си направил по-горе. Те са положителни, но клонят към 0.