Двойна сума

[Добромир Глухаров]

Да се намери стойността на двойната сума $\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-n+2k}{(2k+1)!}\cdot n^{2k}$

[Sup3rlum]

Тази сумация е интересна


$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{1-n+2k}{(2k+1)!}.n^{2k}$

$\sum_{n=0}^\infty\bigg(\sum_{k=0}^\infty\frac{2k+1}{(2k+1)!}.n^{2k}-\sum_{k=0}^\infty\frac{n}{(2k+1)!}.n^{2k}\bigg)$

$\sum_{n=0}^\infty\bigg(\sum_{k=0}^\infty\frac{n^{2k}}{(2k)!}-\sum_{k=0}^\infty\frac{n^{2k+1}}{(2k+1)!}\bigg)$

Тук може да се събере в алтернираща редица, но е интересно да се види и взаимоотношението с хиперболичните функции:

$\sum_{n=0}^\infty(cosh(n)-sinh(n))=\sum_{n=0}^\infty e^{-n}$

Най-обикновена геометрична редица с основа $\bigg|\frac{1}{e}\bigg| < 1$

$\boxed{\Rightarrow \sum_{n=0}^\infty e^{-n} = \frac{1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{e}{e-1}}$



П.С Другия метод:

$\sum_{n=0}^\infty\bigg(\sum_{k=0}^\infty\frac{n^{2k}}{(2k)!}-\sum_{k=0}^\infty\frac{n^{2k+1}}{(2k+1)!}\bigg)$
$\sum_{n=0}^\infty\bigg(\bigg(1+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^4}{4!}...\bigg)-\bigg(n+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^5}{5!}...\bigg)\bigg)$
$\sum_{n=0}^\infty\bigg(1-n+\frac{n^2}{2!}-\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}-\frac{n^5}{5!}...\bigg)$
$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kn^k}{k!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(-n)^k}{k!}$
$\sum_{n=0}^\infty e^{-n}$