развитие на функция в степенен ред

[Гост]

Да се развие в степенен ред около 0 функцията f(x) = ln ( x + [tex]\sqrt{x^{2} + 4}[/tex] ).
Стигнах до тук [tex]\sum_{n=1}^{\infty}((x-1)^n (-x)^{n+1})/n[/tex] + [tex]2\sum_{n=1}^{\infty }(x^{2n} (-x)^{n+1})/4^{n} n[/tex] и се затруднявам с първата сума как да я събера с втората. Много ще се радвам, ако някой ми помогне с решението.

[Sup3rlum]

Знаем, че $ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) =arcsinh\bigg(\frac{x}{a}\bigg)$

$\Rightarrow f(x)=arcsinh\bigg(\frac{x}{2}\bigg)$

Ако се поизровиш в нета, серията на $arcsinh(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}z^{2n+1}$

$\Rightarrow f(x) = arcsinh\bigg(\frac{x}{2}\bigg) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^{2n+1}$

$= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{16^n(n!)^2(4n+2)}x^{2n+1}$