Интеграл

[Гост]

Моля за помощ за задача 8.28 а). Благодаря!

[Гост]

Задача 7.43. Извинявам се.

[Davids]

[tex]I = \int\frac{x arcsinx}{\sqrt{1 - x^2}}dx[/tex]

Като позяпаш достатъчно таблицата с интеграли (и по-конкретно в случая, тригонометрични интеграли), ще започнеш да виждаш производните. В случая е лесно, доста е стандартна - имаш $arcsinx$, имаш и производната му в интеграла ($(arcsinx)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}})$.
Следователно полагането става очевидно: $u = arcsinx$
$\Rightarrow x = sinu$
$\Rightarrow du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$

Заместваш в интеграла и нещата стават далеч по-приятни:
$\Rightarrow I = \int usinudu$

С интеграция по части се решава доста приятно (препоръчвам $DI$-метода):
$$
\begin{array}{ c| c | c }
&D&I \\
\hline
+&u&sinu \\
\hline
-&1&-cosu \\
\hline
+&0&-sinu \\
\end{array}
$$

Достигнем ли до нула, няма нужда да продължаваме. Взимаме произведението от диагоналите и това ни е отговорът:
$\Rightarrow I = -ucosu + sinu$

Остана да заместим обратно $u$:
$I = sin(arcsinx) - arcsinx.cos(arcsinx) = x - \sqrt{1 - x^2}arcsinx + C$
Само трябва да преобразуваш нали $cos(arcsinx)$. Готови сме

[Гост]

[tex]I = \int\frac{x arcsinx}{\sqrt{1 - x^2}}dx[/tex]

Като позяпаш достатъчно таблицата с интеграли (и по-конкретно в случая, тригонометрични интеграли), ще започнеш да виждаш производните. В случая е лесно, доста е стандартна - имаш $arcsinx$, имаш и производната му в интеграла ($(arcsinx)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}})$.
Следователно полагането става очевидно: $u = arcsinx$
$\Rightarrow x = sinu$
$\Rightarrow du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$

Заместваш в интеграла и нещата стават далеч по-приятни:
$\Rightarrow I = \int usinudu$

С интеграция по части се решава доста приятно (препоръчвам $DI$-метода):
$$
\begin{array}{ c| c | c }
&D&I \\
\hline
+&u&sinu \\
\hline
-&1&-cosu \\
\hline
+&0&-sinu \\
\end{array}
$$

Достигнем ли до нула, няма нужда да продължаваме. Взимаме произведението от диагоналите и това ни е отговорът:
$\Rightarrow I = -ucosu + sinu$

Остана да заместим обратно $u$:
$I = sin(arcsinx) - arcsinx.cos(arcsinx) = x - \sqrt{1 - x^2}arcsinx + C$
Само трябва да преобразуваш нали $cos(arcsinx)$. Готови сме

Много ти благодаря за обяснението. Сега ми стана доста по-ясно.