Криволинеен интеграл от първи род

[Гост]

Нужна ми е помощ за задача 12.12. Благодаря предварително!

[Sup3rlum]

$\int_Larctan\bigg(\frac{y}{x}\bigg)dl$ Където L е сегмента $r=2\theta, r \in (0,1) \rightarrow \theta \in (0, 1/2)$

Функцията $arctan\bigg(\frac{y}{x}\bigg)$ знаем, че е просто равна на $\theta$ във полярни координати.

$r=2\theta \Rightarrow \frac{dr}{d\theta}=2$


$dl=\sqrt{r^2+\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^2}d\theta$

$\Rightarrow \int_0^{\frac{1}{2}}\theta\sqrt{4\theta^2+4}d\theta=2\int_0^{\frac{1}{2}}\theta\sqrt{\theta^2+1}d\theta$

Това се решава с полагането:
$u=\theta^2+1 \Rightarrow du=2\theta d\theta$

Границите:

$u=\frac{1}{2}^2+1=\frac{5}{4}$
$u=0^2+1=1$

$\int_1^{\frac{5}{4}}\sqrt{u}du=\bigg[\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\bigg]_1^{\frac{5}{4}}=\frac{5\sqrt{5}-8}{12}$

[Гост]

$\int_Larctan\bigg(\frac{y}{x}\bigg)dl$ Където L е сегмента $r=2\theta, r \in (0,1) \rightarrow \theta \in (0, 1/2)$

Функцията $arctan\bigg(\frac{y}{x}\bigg)$ знаем, че е просто равна на $\theta$ във полярни координати.

$r=2\theta \Rightarrow \frac{dr}{d\theta}=2$


$dl=\sqrt{r^2+\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^2}d\theta$

$\Rightarrow \int_0^{\frac{1}{2}}\theta\sqrt{4\theta^2+4}d\theta=2\int_0^{\frac{1}{2}}\theta\sqrt{\theta^2+1}d\theta$

Това се решава с полагането:
$u=\theta^2+1 \Rightarrow du=2\theta d\theta$

Границите:

$u=\frac{1}{2}^2+1=\frac{5}{4}$
$u=0^2+1=1$

$\int_1^{\frac{5}{4}}\sqrt{u}du=\bigg[\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\bigg]_1^{\frac{5}{4}}=\frac{5\sqrt{5}-8}{12}$

Супер, много ти благодаря!