Функция

[Гост]

Задача 5.10 в) ме затрудни. Стигам до някъде като използвам полагане, но не получавам отговора. Моля за малко помощ. Благодаря!

[Davids]

Наистина няма нищо трудно при диференцирането - просто следваш няколкото на брой основни правила, които би трябвало да можеш да намериш в учебника си. Основно трябва да си нащрек за произведения, частни и вложени функции, като там най-често се допускат грешки. В уикипедия е добре сумаризирано, може да погледнеш.
Ще ти дам пример с първата, другите направи сама

$y = arctg(ln(2x + 3))$
Имаме две вложени функции. За по-нагледно, нека дефинираме трите общо функции и техните производни:
$f(x) = arctgx \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$
$g(x) = lnx \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}$
$h(x) = 2x + 3 \Rightarrow h'(x) = 2$

Така имаме $y = f(g(h(x)))$.

По правилото за вложени функции получаваме:
$y' = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)$

Остана да заместим:
$y' = \frac{1}{1 + [g(h(x))]^2}.\frac{1}{h(x)}.2 = \frac{2}{\big(1 + ln^2(2x + 3)\big)(2x + 3)}$

Просто трябва да си внимателна. С упражнения се свиква

[Гост]

Наистина няма нищо трудно при диференцирането - просто следваш няколкото на брой основни правила, които би трябвало да можеш да намериш в учебника си. Основно трябва да си нащрек за произведения, частни и вложени функции, като там най-често се допускат грешки. В уикипедия е добре сумаризирано, може да погледнеш.
Ще ти дам пример с първата, другите направи сама

$y = arctg(ln(2x + 3))$
Имаме две вложени функции. За по-нагледно, нека дефинираме трите общо функции и техните производни:
$f(x) = arctgx \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$
$g(x) = lnx \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}$
$h(x) = 2x + 3 \Rightarrow h'(x) = 2$

Така имаме $y = f(g(h(x)))$.

По правилото за вложени функции получаваме:
$y' = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)$

Остана да заместим:
$y' = \frac{1}{1 + [g(h(x))]^2}.\frac{1}{h(x)}.2 = \frac{2}{\big(1 + ln^2(2x + 3)\big)(2x + 3)}$

Просто трябва да си внимателна. С упражнения се свиква

А) я разбирам и мога да я реша. Попитах за в) понеже тя ме затрудни и бъркам нещо с полагането.

[Davids]

А, не съм видял, че си посочила и подточка. Логиката е същата:
$y = 2^{3^x}$

$\Rightarrow y' = ln2.2^{3^x}.ln3.3^x$.

Тук освен правилото за вложени функции, основно ти трябва производната на експоненциална функция: $(a^x)' = lna.a^x$

[Гост]

А, не съм видял, че си посочила и подточка. Логиката е същата:
$y = 2^{3^x}$

$\Rightarrow y' = ln2.2^{3^x}.ln3.3^x$.

Тук освен правилото за вложени функции, основно ти трябва производната на експоненциална функция: $(a^x)' = lna.a^x$

Много ти благодаря!

[inveidar]

Наистина няма нищо трудно при диференцирането - просто следваш няколкото на брой основни правила, които би трябвало да можеш да намериш в учебника си. Основно трябва да си нащрек за произведения, частни и вложени функции, като там най-често се допускат грешки

Това ще помогне ли за [tex]y=x^{x^{x}}[/tex]?

[Sup3rlum]

Наистина няма нищо трудно при диференцирането - просто следваш няколкото на брой основни правила, които би трябвало да можеш да намериш в учебника си. Основно трябва да си нащрек за произведения, частни и вложени функции, като там най-често се допускат грешки

Това ще помогне ли за [tex]y=x^{x^{x}}[/tex]?

$y=x^{x^x}$
$ln(y)=x^xln(x)$

$ln(y)=e^{ln(x)x}ln(x)$

$\frac{1}{y}dy=\frac{e^{ln(x)x}}{x}+e^{ln(x)x}ln(x)(ln(x)+1)dx$

$\frac{dy}{dx}=(\frac{x^x}{x}+x^xln^2(x)+x^x).x^{x^x}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{x^{x}}x^x}{x}+x^{x^x}x^xln^2(x)+x^{x^x}x^x$