Интеграл

[Гост]

Малко помощ

[Davids]

$I = \int \frac{dx}{(1 + x^n)^{\frac{n + 1}{n}}} = \int (1 + x^n)^{-\frac{n + 1}{n}}$

Полагаме $u = x^n$
$\Rightarrow x = u^{\frac{1}{n}}$
$\Rightarrow dx = \frac{u^{\frac{1 - n}{n}}}{n}du$

Заместваме и получаваме:
$I = \frac{1}{n} \int (1 + u)^{-\frac{n + 1}{n}}.u^{\frac{1-n}{n}}du =$
$= \frac{1}{n} \int (u + 1)^{-1}.(u + 1)^{-\frac{1}{n}}.u^{-1}.u^{\frac{1}{n}}du =$
$= \frac{1}{n}\int (\frac{u}{u + 1})^{\frac{1}{n}}.[u(u + 1)]^{-1}du$

Сега тук (всъщност дори малко по-рано, преди последното пренареждане ) идва моментът на голямото умно и да се сетим да положим $t = \frac{u}{u + 1}$
Тогава $dt = \frac{u + 1 - u}{(u + 1)^2}du = \frac{1}{(u + 1)^2}du$
Заместваме $u + 1 = \frac{u}{t}$ и получаваме $du = \frac{u^2}{t^2}dt$

Започваме да преустройваме интеграла:
$I = \frac{1}{n}\int t^{\frac{1}{n}}.\frac{1}{\cancel{u}(u + 1)}.\frac{u^{\cancel{2}}}{t^2}dt$

Забелязваме, че получихме в интеграла остатъчно $\frac{u}{u + 1} = t$ и заместваме, след което се получава чудничкото:
$I = \frac{1}{n}\int t^{\frac{1}{n}}.t^{-1}dt = t^{\frac{1}{n}}$

Заместваме и окончателно отговорът ни е:
$\boxed{I = \bigg(\frac{x^n}{x^n + 1} \bigg)^{\frac{1}{n}} + C}$