Функция

[Гост]

Здравейте, нужна ми е помощ за 3.15 в.
Благодаря предварително!

[Davids]

$f(x) = |x| - |x - 1|$

а) Разглеждаме три интервала в зависимост от знаците на стойностите в модулите и ги разкриваме:
$I) x < 0$
$\Rightarrow f(x) = -x - [-(x - 1)] = -1$

$II) x \in [0; 1]$
$\Rightarrow f(x) = x + x - 1 = 2x - 1 \Rightarrow f(x) \in [-1; 1]$

$III) x > 1$
$\Rightarrow f(x) = x - x + 1 = 1$

Така всъщност интервалът на стойностите е $[-1; 1]$

б) Вече констатирахме, че за $x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$ функцията е константа, остава само да видим какво се случва с нея в интервала $x \in [0; 1]$
Намираме производната:
$f'(x) = \frac{x}{|x|} - \frac{x - 1}{|x - 1|}$
и разкриваме модулите в зависимост от знаците на подмодулните величини в интервала за $x$. Получаваме:
$f'(x) = 1 + 1 = 2$, т.е. функцията ни е растяща.

Окончателно заключваме, че за всички стойности на $x$ функцията ни е монотонно растяща, макар и невинаги строго.

в) мисля, че тази подточка вече няколко пъти я отговорихме

[Гост]

Всъщност и преди съм споделяла същата задача, но не получих отговор за нея