Изследване на функция

[Ангелина Ч.]

Здравейте, някой може ли да ми помогне? Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Въведи функцията тук
Вижда се и вертикалната, и наклонената асимптота, както минимумът и максимумът.

[Davids]

Въведи функцията тук
Вижда се и вертикалната, и наклонената асимптота, както минимумът и максимумът.

Изключително стандартна задача за упражнение по учебните дефиниции и методики. Отваряш записките и започваш - повече от буквално следване на базисните указания не ти е нужно. А @КОРМОРАН те е насочил към нещо много ключово, когато не разбираш дадена задача, свързана с функции - черпи от графиката й.

[Knowledge Greedy]

Гледната точка на Динозавъра

Представяме дробната функция с цяла и дробна част [tex]f(x)=x-1+\frac{1}{x+3}[/tex]
Цялата част е главна в безкрайността и с нейното уравнение се задава наклонената асимптота.
Дробната част е главна част в околност на [tex]x_0=-3[/tex] (забранена точка за дефиниционното множество).

Вертикална асимптота [tex]x+3=0[/tex]
Наклонена асимптота [tex]y=x-1[/tex]
Локален минимум - от представянето [tex]f(x)=x+3+\frac{1}{x+3}-4[/tex]

- при [tex]x>-3[/tex] величините [tex]A=x+3[/tex] и [tex]B=\frac{1}{x+3}[/tex] са положителни и от неравенството между средно аритметично и средно геометрично [tex]\frac{A+B}{2}\ge \sqrt{AB}[/tex]
следва, че [tex]\underset{x>-3}{min } f(x)=f(-2)=-2[/tex]

По-интересно е намирането на [tex]\underset{x<-3}{max } f(x)[/tex]

- при [tex]x<-3[/tex] величините [tex]A=-x-3[/tex] и [tex]B=\frac{1}{-x-3}[/tex] са положителни и от неравенството между средно аритметично и средно геометрично [tex]\frac{A+B}{2}\ge \sqrt{AB}[/tex] следва, че
[tex]-(x+3)- \frac{1}{x+3}\ge 2\sqrt{\cancel{(x+3)}.\frac{1} {\cancel{x+3}}}=2[/tex]
Което означава, че
[tex]-f(x)\ge 6[/tex], като равенството се достига при [tex]-(x+3)=- \frac{1}{x+3} \,\ \Leftrightarrow \,\ x=-4[/tex]
т.е.
[tex]\underset{x<-3}{max } f(x)=f(-4)=-6[/tex]

И накрая - графиката, разбира се.

Върхът на айсберга.png (14.19 KiB) Прегледано 408 пъти

Която е снимка в png формат от
https://www.matematika.bg/software/graf ... kncii.html