Ред на Фурие

[Гост]

Здравейте, имам нужда от помощ за следната задача:

Ред на фурие за функцията:

f(x)=2x, -[tex]\pi[/tex]<x<[tex]\pi[/tex]

[Добромир Глухаров]

На интегруемата функция $f(x)$ съпоставяме ред на Фурие от следния вид:

$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k cos(kx)+b_k sin(kx)$,

като в него остава да определим коефициентите $a_k$ и $b_k$ по следните Формули:

$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(kx)dx$

$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(kx)dx$

За да не се мъчим излишно, можем да забележим, че функцията $f(x)=2x$ е нечетна, т.е. $f(-x)=-f(x)$. Това означава, че $\boxed{a_k=0}$.

И действително:

$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(2x)dx=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{x^2}{2}|_{-\pi}^{\pi}=\frac{2}{\pi}\cdot{1}{2}\cdot[\pi^2-(-\pi)^2]=0$

И за произволно $k$ интегрираме по части и накрая използваме, че $cos(k\pi)=cos(-k\pi)=(-1)^k$ и $sin(k\pi)=sin(-k\pi)=0$:

$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}2xcos(kx)dx=\frac{2}{k\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xcos(kx)d(kx)=\frac{2}{k\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdsin(kx)=\frac{2}{k\pi}xsin(kx)|_{-\pi}^{\pi}-\frac{2}{k\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)dx=0-0-\frac{2}{k^2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)d(kx)=-\frac{2}{k^2\pi}(-cos(kx))|_{-\pi}^{\pi}=\frac{2}{k^2\pi}[cos(k\pi)-cos(-k\pi)]=\frac{2}{k^2\pi}[(-1)^k-(-1)^k]=0$

Но горните сметки за $a_k$ можем да си спестим, щом $f(x)$ е нечетна.

Коефициентите $b_k$ обаче, ще трябва да си сметнем:

$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}2xsin(kx)dx=\frac{2}{k\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xsin(kx)d(kx)=-\frac{2}{k\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdcos(kx)=-\frac{2}{k\pi}xcos(kx)|_{-\pi}^{\pi}+\frac{2}{k\pi}\int_{-\pi}^{\pi}cos(kx)dx=-\frac{2}{k}(-1)^k-\frac{2}{k}(-1)^k+\frac{2}{k^2\pi}sin(kx)|_{-\pi}^{\pi}=-\frac{4.(-1)^k}{k}+0=4\cdot\frac{(-1)^{k+1}}{k}$

Значи редът на Фурие за нашата функция е следния:

$2x\sim4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}sin(kx)=4sinx-2sin(2x)+\frac{4}{3}sin(3x)-sin(4x)+\frac{4}{5}sin(5x)-\frac{2}{3}sin(6x)+\cdots$

И щом функцията $f(x)$ е интегруема, можем смело да запишем равенството:

$2x=4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}sin(kx)$, изпълнено за $x\in(-\pi;\pi)$.

[grav]

И щом функцията $f(x)$ е интегруема, можем смело да запишем равенството:

$2x=4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}sin(kx)$, изпълнено за $x\in(-\pi;\pi)$.

Това е твърде смело. Дефинирай фунцията [tex]g(x)[/tex], която да е [tex]2x[/tex] за [tex]x\not=0[/tex] и да има стойност [tex]5[/tex] за [tex]x=0[/tex]. Тогава фунkцията е интегрируема и има същият ред на Фурие, можем ли смело да напишем

$g(x)=4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx)$, изпълнено за $x\in(-\pi,\pi)$?

[Гост]

Благодаря за отделеното време. А как точно рабирате дали функцията е четна/нечетна?

[Sup3rlum]

Благодаря за отделеното време. А как точно рабирате дали функцията е четна/нечетна?

Алгебрично казано, една функция е нечетна когато има следното свойство $f(-x)=-f(x)$. В графичен вид това означава, че графиката фунцкията във 2ри и 3ти квадрант е завъртяна със $180^\circ$ около оста версия на графиката от 1ви и 4ти.

Ето един пример:

odd-function.png (10.33 KiB) Прегледано 5930 пъти

Названието "нечетна функция" произлиза от свойствата на функция от сорта $f(x)=x^{2k+1}, k \to \Z$, а именно, че нечетна степен на $x$ има по-горните свойства. Спрямо интегрирането, следва че $\int_{-a}^af(x)dx=0$, заради симетрията - лявата част на графиката има същата стойност за лице под кривата, само че негативна - с което канцелира позитивната част. В гореспоменатия случай $2x$ е нечетна функция следователно интегралът за реда на Фурие е нула при първия коефицент.

Примери за нечетни функции са: $x^{2k+1}, sinx, tanx$

Четните функции са подобни - те имат следното свойство: $f(-x)=f(x)$

Това означава че графиката на функцията в 1ви и 4ти квадрант и рефлектирана във 2ри и 3ти квадрант спрямо $y$ оста. Аналогично името произлиза от четни степени на $x \to x^{2k}$. Спрямо интеграцията, знаем, че $\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx=2\int_{-a}^0f(x)dx$, от факта, че лицето под кривата е идентично от двете страни на оста.

Ето един пример за четна фунцкия:

ODD-AND-EVEN-2.png (3.41 KiB) Прегледано 5930 пъти

Примери за четни функции са: $x^{2k}, cosx$

Има една много интересна теорема, и ми е една от любимите, защото е рядко използвана техника при интегриране:

Една функция $f(x)$ може винаги да бъде представена като сбор от четна и нечетна функция.

Това ни предоставя следната тривиална формула, която може да изглежда позната за една определена функция:

$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

Където лявата част от сбора е четна, а дясната нечетна.

Ето един известен пример: $e^x=coshx+sinhx$