Интеграл

[Гост]

Здравейте. Имам нужда от помощ за задачата:

1. Да се пресметне интеграла

[Sup3rlum]

За този интеграл контурата изглежда така:

Screenshot_15.png (19.91 KiB) Прегледано 385 пъти

Това е кръг с радиус 1.
Този интеграл можем да го параметризираме, защото знаем, че за единичната окръжност $z=e^{i\theta}$.
Общата формула за параметризация:

$\oint_C f(z)dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt$,
Където $\gamma(\theta)=e^{i\theta}$
$\gamma'(\theta)=ie^{i\theta}$

Тогава имаме:

$\int_0^{2\pi}\bigg(1+\frac{1}{e^{i\theta}}\bigg)ie^{i\theta}d\theta=i\int_0^{2\pi}e^{i\theta}+1d\theta$
$=i\int_0^{2\pi}e^{i\theta}d\theta+2\pi i$
$=i\bigg[\frac{e^{i\theta}}{i}\bigg]_0^{2\pi}+2\pi i$
$=2\pi i$