граница

[Гост]

ще се радвам, ако някой помогне или даде насоки.

[Sup3rlum]

Няма проблем!

Тази граница наистина изглежда много заплашваща, но накрая се надявам, че ще си разбрал тънкостта необходима намирането на тази граница.
Първо, обаче, искам да въведа една малко по абстрактна идея, едно връщане назад към основите - дефиницията на интеграл. Знаем вече, че интегралът ни дава стойност за лицето по дадена крива описана от функция $f(x)$, между два вертикала, $a$ и $b$.

integral.png (5.67 KiB) Прегледано 503 пъти

Но как достигаме до истинска стойност? Начинът на подход е такъв - разделяме лицето на много, малки правоъгълници, с височина от оста, до функцията ( $f(x)$) и с широчина $\delta x$, и намираме тяхното лице, след това ги събираме. Крайният резултат ще бъде малко повече отколкото истинския, но ако увеличим броя на правоъгълниците, ще сме все по-точни.

i2uSx.jpg (31.9 KiB) Прегледано 503 пъти

Ако искаме да го формулираме математически - лицето под тази част от кривата, е сбора на правоъгълници с лице $\delta x f(a+\delta x * i)$

$\Rightarrow A=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^n \frac{b-a}{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)=\int_a^bf(x)dx$

Където $n$ е броя на малките правоъгълници. Колкото повече се увеличава стойността на $n$ - повече тесни правоъгълници, толкова по-близо ще сме до реалната стойност, следователно искаме $n \to \infty$. Тук идва ключовата идея - ако изберем нашият интервал да е от $0$ до $1$, ще опростим формулата и ще я свържем с нашата граница.
Избираме $a=0$, $b=1$

$\Rightarrow A=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^n\frac{1}{n}f\bigg(\frac{i}{n}\bigg)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}f\bigg(\frac{1}{n}\bigg) + \frac{1}{n}f\bigg(\frac{2}{n}\bigg) + \frac{1}{n}f\bigg(\frac{3}{n}\bigg) + .... + \frac{1}{n}f\bigg(\frac{n}{n}\bigg)$

Надявам се това вече да изглежда познато:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\bigg(f\bigg(\frac{1}{n}\bigg)+f\bigg(\frac{2}{n}\bigg)+f\bigg(\frac{3}{n}\bigg)+...f\bigg(\frac{n}{n}\bigg)\bigg)=\int_0^1f(x)dx$

Ако изберем функцията $f(x)=\frac{1}{2+sin(\pi x)}$ нашата дефиниция за интеграл придобива вида:

$A=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\bigg(\frac{1}{2+sin\frac{\pi}{n}}+\frac{1}{2+sin\frac{2\pi}{n}}+\frac{1}{2+sin\frac{3\pi}{n}}+...+\frac{1}{2+sin\frac{n\pi}{n}}\bigg)=\int_0^1\frac{1}{2+sin(x\pi)}dx$

За този интеграл вече може да се използват познати техники, на мен не ми идва нищо лъскаво и тарикатско на акъла, така че по изпитания метод:

$\int_0^1\frac{1}{2+sin(x\pi)}dx$

$u=\pi x$
$du=\pi dx$

Границите:

$u(0)=0$
$u(1)=\pi$


$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\frac{1}{2+sin(u)}du$

От тук субституция на Вайерщтраус (даже не знам как трябва да е кирилизирано)

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\frac{1}{2+\frac{2tan\frac{u}{2}}{tan^2\frac{u}{2}+1}}du$

$p=tan\frac{u}{2}$

Пак границите:

$p(0)=0$
$p(\pi)=+\infty$

Тук горе да отбележа за тези по-наблюдателните - взимаме позитивната стойност защото приближаваме $tan\frac{\pi}{2}$ от лявата страна.


$dp=\frac{1}{2}sec^2\frac{u}{2}du$
$du=\frac{2}{sec^2\frac{u}{2}}dp$
$du=\frac{2}{p^2+1}du$

Заместваме:

$=\int_0^\infty\frac{1}{p^2+p+1}dp$

Допълваме квадрата:

$=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{1}{(p+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}dp$

$=\frac{2}{\pi\sqrt{3}}\arctan\bigg(\frac{2p+1}{\sqrt{3}}\bigg)\bigg]_0^\infty$

$\boxed{=\frac{2}{3\sqrt{3}}}$


Надявам се всичко да е било горе-долу ясно и проследимо

[Гост]

много благодаря!