Лице на повърхнина ОИ

[Гост]

Дадени са ни уравненията:
[tex]y=-x^2[/tex]
[tex]x^2+y^2=12[/tex]
S=?

[Гост]

И какво като са ви дадени уравненията?

[peyo]

Отговора е около 29.67 или около 8.018. Не съм решавал задачата. Резултатите са от програма която търси ограничени области и изглежда има 2 такива. Тези резултати са от симулация с 10М случайни числа.

[Добромир Глухаров]

Лице на повърхнина.png (38.66 KiB) Прегледано 455 пъти

Параболата разделя кръга на две части - малка и голяма. Малката част е между дъгата от окръжността с уравнение $y=-\sqrt{12-x^2}$ и параболата $y=-x^2$ - и двете криви заключени между точките $(-\sqrt{3};-3)$ и $(\sqrt{3};-3)$. За да ни е по-удобно да решим интеграла, съобразяваме, че малката част (както впрочем и голямата) е симетрична спрямо ординатната ос. Следователно лицето й е два пъти по-голямо от интеграла с граници $x=0$ и $x=\sqrt{3}$.

$S=2\int_0^{\sqrt{3}}(-x^2-(-\sqrt{12-x^2}))dx$

$S=2.\left(-\frac{x^3}{3}|_0^{\sqrt{3}}+\int_0^{\sqrt{3}}\sqrt{12-x^2}dx\right)$

За интеграла с радикал се сещам най-напред за тригонометрично полагане $x^2=12sin^2t$, съответно $12-x^2=12cos^2t$ и $2xdx=12.2sint.cost.dt\Rightarrow dx=\frac{12sint.cost.dt}{\sqrt{12}sint}=\sqrt{12}costdt$

$x=0\Rightarrow t=0$

$x=\sqrt{3}\Rightarrow 12sin^2t=3\Rightarrow sint=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi}{6}$

$\Rightarrow S=2(-\sqrt{3}+\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sqrt{12}cost\sqrt{12}costdt)$

$S=-2\sqrt{3}+24\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{1+cos2t}{2}dt$

$S=-2\sqrt{3}+12\left(\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{6}}cos2td(2t)\right)$

$S=-2\sqrt{3}+12\left(\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\cdot sin2t|_0^{\frac{\pi}{6}}\right)$

$S=-2\sqrt{3}+2\pi+6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}+2\pi+3\sqrt{3}=2\pi+\sqrt{3}\approx8,0152$

Целият кръг има лице $\pi(2\sqrt{3})^2=12\pi$, следователно лицето на голямата част е $12\pi-(2\pi+\sqrt{3})=10\pi-\sqrt{3}\approx29,6839$