Неопределен интеграл - моля за помощ

[Гост]

[tex]\int\frac{t^{3} + t + 2}{(t - 1)^{2}(t^{2} + 1)}dt[/tex]

[Davids]

[tex]\int\frac{t^{3} + t + 2}{(t - 1)^{2}(t^{2} + 1)}dt[/tex]

Подхождаме класически с частична дробна декомпозиция (?... нямам идея как е на български partial fraction decomposition):

$I = \int\frac{t^{3} + t + 2}{(t - 1)^{2}(t^{2} + 1)}dt = \int\frac{At + B}{(t - 1)^2} + \frac{Ct + D}{t^2 + 1}dt$

Получаваме уравнението:
$(At + B)(t^2 + 1) + (Ct + D)(t^2 - 2t + 1) = t^3 + t + 2$
$....$
$(A + C)t^3 + (B - 2C + D)t^2 + (A + C - 2D)t + B + D = t^3 + t + 2$

Което ни дава системата:
$\begin{array}{|l} A + C = 1 \\ B - 2C + D = 0 \\ A + C - 2D = 1 \\ B + D = 2 \end{array}$

Решаваме стандартно и получаваме $A = 0; B = 2; C = 1; D = 0$. Заместваме в интеграла:

$\Rightarrow I = \int\frac{2}{(t - 1)^2} + \frac{t}{t^2 + 1}dt = 2\int(t - 1)^{-2}dt + \frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2 + 1}dt$

Първият интеграл е линеен, решаваме директно по правилото за степенуване и получаваме:
$2\int(t - 1)^2dt = 2.(-1)(t - 1)^{-1} = -\frac{2}{t - 1} + C$

Вторият интеграл решаваме с обикновена субституция $u = t^2 + 1 \Rightarrow du = 2tdt$
$\Rightarrow \frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2 + 1}dt = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du = \frac{1}{2}lnu = \frac{1}{2}ln(t^2 + 1) + C$

Така дадения в началото интеграл окончателно се приравнява на:
$I = -\frac{2}{t - 1} + \frac{1}{2}ln(t^2 + 1) + C$

[pal702004]

само не забравяй константата...досадно е, но трябва да се пише.

[Davids]

само не забравяй константата...досадно е, но трябва да се пише.

Да, вярно! Не бях решавал от едно известно време и в бързината този недоизграден навик си остана забравен

[Гост]

Здравейте,

Искам да Ви благодаря за бързата и качествена работа.

Поздрави,