Въпрос за факториел

[Zlatinster]

Верни ли ми са изразите,решавам задачи със суми,където има факториел и затова питам.

(2n+1)!!=(2n-1)!!(2n+1)
(n+1)!=n!(n+1)
(2n+2)!!=2n!!(2n+2)
(2n-1)!!=(2-1)(2n-3)
(2n)!=2n(2n-1)
(2n)!!=2n(2n-2)

Някой може ли да ми обясни как се получават и да ми разпише как да разложа (3n+3)!! и (3n+1)!

[Добромир Глухаров]

[tex]n!=n(n-1)(n-2)...3.2.1,\ n\in \mathbb{N}[/tex]
[tex]n!!=n(n-2)(n-4)(n-6)...4.2,\ n=2k,\ k\in \mathbb{N}[/tex]
[tex]n!!=n(n-2)(n-4)(n-6)...3.1,\ n=2k+1,\ k\in \mathbb{N}[/tex]

[tex](3n+1)!=1.2.3.4...(3n-1)(3n)(3n+1),\ n\in \mathbb{N}[/tex]
[tex](3n+3)!!=1.3.5.7...(3n-1)(3n+1)(3n+3),\ n=2k,\ k\in \mathbb{N}[/tex]
[tex](3n+3)!!=2.4.6.8...(3n-1)(3n+1)(3n+3),\ n=2k+1,\ k\in \mathbb{N}[/tex]

[tex](3n+1)!=(3n+1).(3n)!,\ n\in \mathbb{N}[/tex]
[tex](3n+3)!!=(3n+3).(3n+1)!!,\ n\in \mathbb{N}[/tex]

[Zlatinster]

Мерси!Моите грешки имат ли ?

[Добромир Глухаров]

Четвъртата ти формула: [tex](2n-1)!!=(2n-1).(2n-3)!![/tex].

И в последните две си забравил знака за факториел накрая.

[Zlatinster]

(3n+3)!! Може ли да се запише като (3n)!!(3n+3) ?

[Добромир Глухаров]

Няма да бъде вярно, защото [tex](3n)!!\ne (3n+1)!![/tex].

[Добромир Глухаров]

Виж дефиницията за [tex]n!![/tex] - ТУК.

Вместо [tex]n[/tex] може да имаш [tex]3n[/tex], [tex]3n+1[/tex], или [tex]3n+3[/tex] или друго число за аргумент- по дефиниция умножаваш естествените числа, които са със същата четност като аргумента и не го надминават.

[Zlatinster]

[tex]\sum_{\infty }^{n=1} \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\frac{1}{n}

D=>lim_{n->\infty} \frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}\frac{1}{n+1}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{n}{1}[/tex]

После как да съкратя?

[Добромир Глухаров]

[tex]a_n=\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\cdot\frac{1}{n}[/tex]

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}\cdot\frac{1}{n+1}}{\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\cdot\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{(2n+2)!!(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)!!}[/tex]

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{(2n+2)\cancel{(2n)!!}\cancel{(2n-1)!!}}{\cancel{(2n)!!}(2n+1)\cancel{(2n-1)!!}}[/tex]

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{2n+2}{2n+1}[/tex]