докажете границата с дефиницията на Коши

[Гост]

[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x+1}{x(x-2)}=-2 ...... |x-1|\left|\frac{2x-1}{x^{2}-2x}\right|<\epsilon[/tex], сега оттук как да стигна до [tex]|x-1|<\delta[/tex], тоест да намеря делта, без да има хикс в нея?

[Гост]

За тази задача го направих, дали е вярно?
[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \forall \epsilon, \exist \delta_{\epsilon}>0 , x\ne 1, |x-1|<\delta \Leftrightarrow \left|\frac{x}{x+1}-\frac{1}{2}\right|<\epsilon[/tex]
От [tex]\left|\frac{x}{x+1}-\frac{1}{2}\right|<\epsilon \Rightarrow |x-1|.\frac{1}{|2x+2|}<\epsilon[/tex], сега разглеждам тази допълнителната част, която ако беше константа, можеше да намерим [tex]\delta[/tex], именно [tex]\frac{1}{|2x+2|}[/tex], ще намерим нейна горна граница, за някаква околност [tex]\delta\le 1\Rightarrow x\in [0,2][/tex], тъй като 0 и 2, не нулират знаменателя няма проблем.
За да намерим [tex]max_{x\in [0,2]} \frac{1}{|2x+2|}[/tex], трябва да намерим [tex]min_{x\in [0,2]} |2x+2| \Rightarrow x=0 \Rightarrow |2.0+2|=2 \Rightarrow max\frac{1}{|2x+2|}=\frac{1}{2}[/tex] в разглежданата околност.
[tex]\Rightarrow \frac{1}{|2x+2|} \le \frac{1}{2}[/tex] за околността [tex]\forall x \in [0,2] ( x\ne 1)[/tex]
[tex]\Rightarrow |x-1|.\frac{1}{|2x+2|} \le |x-1|\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex], ако [tex]|x-2|\frac{1}{2} < \epsilon[/tex], то [tex]|x-1|.\frac{1}{|2x+2|}<\epsilon[/tex] също.
[tex]\Rightarrow |x-2|<2\epsilon \Rightarrow \delta_{\epsilon}=2\epsilon[/tex], но ограничихме [tex]\delta \le 1 \Rightarrow x\in [0,2], x\ne 1 \Rightarrow \delta=min(2\epsilon, 0).[/tex]
Така ли се оставя доказателството?

[Гост]

[tex]\delta=min(2\epsilon, 1)[/tex], не [tex]\cancel{\delta=min(2\epsilon, 0)}[/tex], слага се околността на [tex]x_{0}[/tex], в случая е наоколо с 1 мерна единица.

[differenciala]

Здравей, правилно си направил задачата, за която питаш, но имай предвид, че околност на точка е интервал съдържащ точката, т. е. израз като "околност $\delta<1$" не е съвсем точен. Според мен е добре да си напишеш какво се иска с думи, без използване на означения от логиката като [tex]\forall[/tex],$\Rightarrow$ и др. За другата задача ти трябва оценка отгоре на израза $\left|\frac{2x-1}{x^2-2x}\right|$, когато $x$ е в малка околност на $1$. Имаш $\left|\frac{2x-1}{x(x-2)}\right|=\frac{2x-1}{x(2-x)}<\frac{2x}{x(2-x)}=\frac{2}{2-x}<\frac{2}{2-\frac{3}{2}}=4$, при $\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$.

[Добромир Глухаров]

$f(x)=\frac{x+1}{x(x-2)};\ \lim_{x\to1}f(x)=-2$

$\Delta=|f(x)-(-2)|=\left|\frac{x+1}{x(x-2)}+2\right|=\cdots=|x-1|\left|\frac{2x-1}{x(x-2)}\right|$

Нека сега си изберем реално число $\epsilon$, такова, че $0<\epsilon<1$. И сега, ако $|x-1|<\delta(\epsilon)=\frac{\epsilon}{3}$, следва

$\Delta<\frac{\epsilon}{3}\left|\frac{2x-1}{x(x-2)}\right|<\frac{\epsilon}{3}\left|\frac{2x}{x(x-2)}\right|=\frac{\epsilon}{3}\left|\frac{2}{x-2}\right|=$

$=\frac{\epsilon}{3}\left|\frac{2}{(x-1)-1}\right|<\frac{\epsilon}{3}\cdot\frac{2}{1-\frac{\epsilon}{3}}=\frac{2\epsilon}{3-\epsilon}<\frac{2\epsilon}{2}=\epsilon$