Интеграли с необичайни функции

[Sup3rlum]

$\int_0^n\left\lfloor 2^x\right\rfloor dx = ?$

$\int_0^\infty \frac{\left\lfloor x\right\rfloor}{x^{s+1}}dx=?$

$\int_0^{ln(y)} max\{1, x\} dx=?$

$\int_0^n\{tan\sqrt{x}\}dx=?$

[Добромир Глухаров]

$\int_0^n\left\lfloor 2^x\right\rfloor dx = 1+2.(log_23-1)+3.(log_24-log_23)+\cdots+(2^n-1)(log_22^n-log_2(2^n-1))=$

$=-1-log_23-log_24-\cdots-log_2(2^n-1)+(2^n-1)log_22^n=n.2^n-log_2[(2^n)!]$

[Гост]

$\int_0^{ln(y)} max\{1, x\} dx=?$

https://www.youtube.com/watch?v=8PWpCCmrjaM

[Davids]

$\int_0^\infty \frac{\left\lfloor x\right\rfloor}{x^{s+1}}dx = ?$

Ще сменя параметъра на $a = s$, че по-удобно

Първо правим наблюдението, че при $a < 1$ интегралът дивергира. Така че за стойност с несобсствени граници разглеждаме $a > 1$.

$I = \int_0^\infty \frac{\left\lfloor x\right\rfloor}{x^{a+1}}dx = \sum_{n = 1}^{+\infty}\int_n^{n+1}\frac{\left\lfloor x\right\rfloor}{x^{a+1}}dx$, понеже от 0 до 1 интегралът е нула. Въпзолзваме се сега от floor функцията:
$\Rightarrow I = \sum_{n = 1}^{+\infty}n\int_n^{n+1}\frac{1}{x^{a+1}}dx = \sum_{n = 1}^{+\infty}-\frac{n}{a}\bigl[\frac{1}{x^a}\bigr]_n^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{n}{a}\bigl[\frac{1}{x^a}\bigr]_{n + 1}^n$
$\Rightarrow I = \frac{1}{a}\sum_{n = 1}^{+\infty}n(\frac{1}{n^{a}} - \frac{1}{(n+1)^a})$

Сега за по-опростени сметки ще се абстрахираме от коефициента $\frac{1}{a}$ и ще вземем под лупата сумата
$S = \sum_{n = 1}^{+\infty}n(\frac{1}{n^{a}} - \frac{1}{(n+1)^a}) = \sum_{n = 1}^{+\infty}(\frac{1}{n^{a - 1}} - \frac{n}{(n+1)^a}) = \sum_{n = 1}^{+\infty}(\frac{1}{n^{a - 1}} - \frac{n + 1 - 1}{(n+1)^a}) = \sum_{n = 1}^{+\infty}(\frac{1}{n^{a - 1}} - \frac{1}{(n+1)^{a-1}}) + \sum_{n = 1}^{+\infty}(\frac{1}{(n+1)^{a}})$

При първата сума от двете всички събираеми се съкращават, освен първото и последното. Това ме навежда на идеята да сложим горната граница като естествено число $N \in \mathbb{N}^+$ и да разгледаме сумите, когато то клони към $+\infty$. Тогава имаме:
$\sum_{n = 1}^{N}(\frac{1}{n^{a - 1}} - \frac{1}{(n+1)^{a-1}}) = 1 - \frac{1}{(N+1)^{a - 1}}$
а пък втората сума най-вдясно учудващо много ни наподобява една позната функция. Остава да направим граничния преход:

$S = \sum_{n = 1}^{+\infty}(\frac{1}{n^{a - 1}} - \frac{1}{(n+1)^{a-1}}) + \sum_{n = 1}^{+\infty}(\frac{1}{(n+1)^{a}}) = \lim_{N \to +\infty}\bigl( 1 - \frac{1}{(N+1)^{a - 1}} + \sum_{n = 1}^{N}(\frac{1}{(n+1)^{a}}) \bigr) = 1 + \lim_{N \to +\infty}\sum_{n = 1}^{N}(\frac{1}{(n+1)^{a}}) = \zeta(a)$.

Спомняме си коефициента, който игнорирахме по-горе, и достигаме накрая до заветния отговор на нашия интеграл:
$\boxed{\int_0^\infty \frac{\left\lfloor x\right\rfloor}{x^{a+1}}dx = \frac{\zeta(a)}{a}}$