$\int_0^ne^{[\sqrt{x}]}dx=?$

[Добромир Глухаров]

Един малко по-сложен интеграл: $\int_0^ne^{[\sqrt{x}]}dx=?$, само за който му се правят еднообразни сметки . Признават се и общоидейни решения. За съжаление така и нямах търпение да стигна до крайния отговор, така, че ще ми е любопитно да видя дали е сравнително прост като израз.

[Davids]

Много взеха да ми стават интересни този тип интегрални стълкновения

След кратък анализ достигнах до следното нещо, което май ми се чини като най-опростеното, до което мога да стигна.
Ако вземем редицата $a_i = i^2$ за $i \in N_0$, то графиката на функцията $e^{[\sqrt{x}]}$ представлява поредицата от прави линии на стойност $e^i$ съответно в интервалите $a_i \le x < a_{i + 1}$.

Тоест, при установени $a_k \le n < a_{k + 1}$, стойността на интеграла ще има следния вид като сума:

$S = [(1 - 0)e^0 + (4 - 1)e^1 + (9 - 4)e^2 + ... + (a_k - a_{k - 1})e^{k - 1}] + (n - a_k)e^k$

Или на малко по-математически език:
$S = (\sum_{i = 1}^k(a_i - a_{i - 1})e^{i - 1}) + (n - a_k)e^k$

А можем и да се абстрахираме от редицата $a_i$ и да заместим:
$S = (\sum_{i = 1}^k(2i - 1)e^{i - 1}) + (n - k^2)e^k$

Където съответно $k^2 \le n < (k + 1)^2$.

А ако се замисля и окончателно, всъщност $k = [\sqrt{n}]$, така че още една козметична промяна за финален вид:
$S = (\sum_{i = 1}^{[\sqrt{n}]}(2i - 1)e^{i - 1}) + (n - [\sqrt{n}]^2)e^{[\sqrt{n}]}$

Ако това подлежи на опростяване, е извън моята компетенция.

P.S. Here's a little something in that regard to play around with
https://www.desmos.com/calculator/vumyizzq7x

[Добромир Глухаров]

Браво! Точно така разсъждавах и аз.

А сумата може да се сметне например така:

$\sum_{i=1}^{[\sqrt{n}]}(2i-1)e^{i-1}=2\sum_{i=1}^{[\sqrt{n}]}i.e^{i-1}-\sum_{i=1}^{[\sqrt{n}]}e^{i-1}=\frac{2}{e}\cdot\sigma_{[\sqrt{n}]}-\frac{e^{[\sqrt{n}]}-1}{e-1}$

$\sigma_m=\sum_{k=1}^mk.e^k=\sum_{k=1}^m(k+1).e^k-e\cdot\frac{e^m-1}{e-1}=\frac{1}{e}\sum_{k=2}^{m+1}k.e^k-e\cdot\frac{e^m-1}{e-1}=$

$=\frac{1}{e}\left(\sigma_m-e+(m+1)e^{m+1}\right)-e\cdot\frac{e^m-1}{e-1}$

$\left(1-\frac{1}{e}\right)\sigma_m=-1+(m+1)e^m-e\cdot\frac{e^m-1}{e-1}$

Само дето изразите са бая сложни и тегави за запис.