Да се изследва за конвергенция

[Davids]

Нека $a_1, a_2, ..., a_k > 0$.
Да се изследва за конвергенция и да се намери в случай на конвергенция границата на редицата:
$b_n := \Bigg(\sum_{i = 1}^{k}a_i^n\Bigg)^{\frac{1}{n}} $

[vezni]

Без ограничение [tex]a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_k[/tex]
[tex]\left(a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n\right)^{1/n}=a_1\left(1+\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^n+\left(\frac{a_3}{a_1}\right)^n+\ldots+\left(\frac{a_k}{a_1}\right)^n\right)^{1/n}[/tex]
което клони към [tex]a_1[/tex], тоест [tex]\max\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}[/tex]
Ако [tex]a_i=a_1 \Rightarrow \left(\frac{a_i}{a_1}\right)^n=1[/tex]
Ако пък [tex]a_i<a_1 \Rightarrow \left(\frac{a_i}{a_1}\right)^n \to 0[/tex], понеже е граница на израз от вида [tex]q^n[/tex], където [tex]q\in (0,1)[/tex].
Може също да логаритмуваш израза, ако това [tex]1/n[/tex] в степенния показател те притеснява.